1. Теоретические основы методов моментов и максимального правдоподобия
1.1. Оценка первых четырех выборочных начальных и центральных моментов и построение эмпирического распределения
Расчет точечных оценок всех четырех выборочных начальных и центральных моментов с учетом поправочных коэффициентов для обеспечения несмещенности вычисляемых моментов по следующим формулам.
Оценки
начальных эмпирических моментов
рассчитываются
по формулам
,
(
),
через
которые в свою очередь могут быть
вычислены оценки первых четырех
центральных моментов
по
известным связующим соотношениям между
ними:
-
математическое ожидание случайной
величины;
- дисперсия;
- характеристика
асимметрии распределения;
- характеристика островершинности
распределения.
Оценки центральных моментов могут вычисляться и непосредственно по формулам
Последние
две величины являются нормированными
коэффициентами асимметрии и островершинности
-
- Skewness
и
- Excess.
Для нормального
распределения
=
=0.
Оценки
центральных моментов (кроме
)
являются смещенными, что при малом числе
наблюдений приводит к смещенности
параметров предполагаемых («разгадываемых»)
теоретических распределений случайных
величин. Для устранения смещенности
оценок центральных моментов от
теоретических для генеральной совокупности
вводятся поправочные коэффициенты […]:
(
- оценка дисперсии D,
-
оценка среднеквадратического отклонения);
На
основе полученных численных значений
оценок центральных моментов могут
выдвигаться гипотезы о предполагаемых
теоретических законах распределения.
Так, если
,
2,
а
6,
то гипотеза об экспоненциальном
(показательном) законе может быть принята
к рассмотрению. Если
,
а
и
,
то следует принять к рассмотрению
гипотезу о нормальном (гауссовом) законе
распределения.
При обработке эмпирических данных может быть проще определить сначала оценки начальных моментов. Затем найти смещенные оценки центральных моментов и, наконец, вычислить несмещенные оценки.
Если
последовательность результатов
независимых наблюдений
над случайной величиной
с функцией распределения
расположить в порядке возрастания
, то получается так называемый
вариационный
ряд.
Эмпирической
функцией распределения
называется функция, определенная
равенствами:
Таким образом, эмпирическая функция при каждом значении x равна числу значений случайной величины, меньших x, деленному на общее число наблюдений.
1.2. Метод моментов
Метод
моментов точечной оценки неизвестных
параметров заданного распределения
состоит в приравнивании теоретических
моментов (см. Приложение 1) соответствующим
эмпирическим моментам того же порядка.
Если распределение определяется одним
параметром, то для его отыскания
приравнивают один теоретический момент
одному эмпирическому моменту того же
порядка. Например, можно приравнять
начальный теоретический момент первого
порядка начальному эмпирическому
моменту первого порядка
Если
распределение определяется двумя
параметрами, то приравнивают два
теоретических момента двум соответствующим
эмпирическим моментам того же порядка.
Можно приравнять начальный теоретический
момент первого порядка начальному
эмпирическому моменту первого порядка
и центральный теоретический момент
второго порядка центральному эмпирическому
моменту второго порядка. Так, для
гамма-распределения параметры очень
просто рассчитываются методом моментов
исходя из приравнивания несмещенных
оценок дисперсий и математических
ожиданий эмпирического закона
распределения с теоретическими для
данного распределения
;
,
где в правые части подставляются
соответственно выборочные оценки
математического ожидания и дисперсии.
Для более сложных распределений, например для распределения Вейбулла-Гнеденко, задача сводится к необходимости решения сложнейших алгебраических уравнений, рассматриваемых ниже.