Тема 2. Временная ценность денег

Ценность денег (в современных рыночных условиях) зависит от временного фактора: 1 $ сегодня > 1 $ завтра.

Для этого существует две причины. Первая – инфляция (т.е. прямое обесценение денег, потеря какой-то части их покупательной способности). Но даже если инфляция нулевая, указанное выше соотношение между сегодняшним и завтрашним долларом (маркой, фунтом стерлингов, франком и т.п.) сохранится вследствие обращения капитала.

Пример: Предположим, что проект может принести доход в 10 тыс. долл. за 2 года. При этом есть две возможные схемы получения этого дохода: а) получать доход частями – по 5 тыс. долл. в конце каждого года; б) получить все 10 тыс. долл. сразу, но через 2 года. Спрашивается, какой из двух вариантов получения дохода более выгодный?

Разумеется, вариант а), поскольку полученные через год 5 тыс. долл. могут быть снова вложены в какой-то второй проект (или в банк на депозит) и до окончания срока действия первого проекта принести дополнительный доход.

Поэтому впрямую сегодняшние и будущие деньги складывать нельзя – это деньги разной ценности. Можно написать : 1$ сегодня = 1$ завтра + ,

г де - некая дополнительная сумма денег.

Обозначим: НС – настоящая стоимость ( англ: PV – Present Value);

БС – будущая стоимость (англ: FV – Future Value).

Тогда между этими величинами можно установить точные соотношения. Если рассматривается один временной интервал (год, месяц, день), то прирост БС вычисляется из НС умножением на «ставку процента»:

БС = r * НС, где r = (БС – НС) / НС;

Уменьшение НС вычисляется из БС умножением на «дисконт», или «учетную ставку»:

НС = d * БС, где d = (БС – НС) / БС;

r и d – измеряются в долях единицы. При этом r > d ;

Логика финансовых операций может быть представлена следующими схемами:

НАСТОЯЩЕЕ………………………БУДУЩЕЕ

Инвестируемая сумма Возвращаемая сумма а) наращивание

r

Приведенная сумма Ожидаемая сумма

Б) дисконтирование d

Экономический смысл схемы А): Определение той суммы, которую инвестор желает получить в будущем, если известна инвестируемая сумма. При этом r – трактуется как «требуемая для инвестора доходность».

Экономический смысл схемы Б): Определение той суммы, которую инвестор должен вложить сегодня, чтобы в будущем можно было ожидать известную сумму. При этом d – трактуется как «желаемая для инвестора доходность».

Если дан не один будущий период, а несколько временных интервалов, то для процесса наращивания стоимости применяют две схемы: «простых процентов» ( Simple interest) и «сложных процентов» (Compound interest).

Схема простых процентов основана на неизменности базы для начисления процентов. Если даны n – периодов, в каждый из которых начисляют проценты, то в итоге (через n – периодов) будем иметь:

K_n = K + K * r + …. + K * r = K * ( 1 + n * r);

Примером применения этой схемы является ситуация банковского вклада, когда начисленные за год проценты каждый раз забираются вкладчиком.

Схема сложных процентов основана на меняющейся базе для начисления процентов (из-за того, что сами проценты капитализируются):

Для первого года - S₁ = K + K * r = K * ( 1 + r )

Для второго года - S₂ = S₁ + S₁ * r = S₁ * ( 1 + r) = K * ( 1 + r )²

…………………. ………………………………………………

Для n – го года - S_n = K * ( 1 + r )ⁿ

Примером применения схемы сложных процентов может быть ситуация банковского вклада, когда начисленные в предыдущий год проценты прибавляются к сумме вклада и эта общая сумма служит базой для начисления процентов для следующего периода.

БС S_t

S _n и K_n связаны между собой так:

Если 0 < n < 1, то K_n > S_n ; К_t

Е сли n > 1, то S_n > K_n ; НС

0 0,5 1 2

Формула сложных процентов – базовая в ФМ. Ее значения табулированы: в любом учебнике по ФМ есть финансовые таблицы, первая из которых – таблица значений M1(r, n) = (1 + r)ⁿ; Этот показатель, зависящий от двух параметров, называется «мультиплицирующим множителем».

Соответственно, БС_n = НС * (1 + r)ⁿ = НС * М1(r, n );

Если рассматривается обратный процесс – дисконтирование для n –периодов, то в основе лежит та же схема сложных процентов, только формула выглядит иначе: НС = БС_n / ( 1 + r )ⁿ = БС_n * M2( r, n ),

где М2 (r, n ) = 1 / (1 + r ) ⁿ – «дисконтирующий множитель». Его значения тоже табулированы ( финансовые таблицы можно найти в любом учебнике по ФМ, в том числе в данном учебном пособии).

Следующим усложнением является переход к рассмотрению не единичной денежной суммы, а денежного потока – фундаментального понятия ФМ.

Денежный поток – это последовательность денежных поступлений (платежей) в течение нескольких временных периодов: С₁,С₂,С₃, … С_n ;

При этом различают два типа денежных потоков: а) пренумерандо;

б) постнумерандо.

а ) Пренумерандо (авансовый) – это денежный поток, платежи которого осуществляются в начале каждого временного интервала (периода):

С₁ С₂ С₃ С₄ С₅

периоды

0 1 2 3 4 5

В содержательном плане – это поток авансов, предоплат, накоплений.

б ) Постнумерандо – это денежный поток, платежи которого осуществляются в конце каждого временного интервала (периода):

С₁ С₂ С₃ С₄ С₅

периоды

0 1 2 3 4 5

В содержательном плане – это процесс отдачи от вложений (инвестиций, труда).

Оценка того и другого денежного потока может осуществляться в рамках решения: А) прямой задачи – оценка с позиции будущего (схема наращивания стоимости);

Б) обратной задачи – оценка с позиции настоящего (схема дисконтирования);

Прямой задачей называется определение суммарной оценки наращенного денежного потока.

Обратной задачей называется определение суммарной оценки дисконтированного (приведенного) денежного потока.

Оценка потока постнумерандо:

П рямая задача:

0 1 2 3 …. n - 1 n

t

C₁ C₂ C_{3 …..} C_n-1 C_n

БС_пст= С_t *(1+r)^n-t

Такая графическая конструкция (и ей подобные, рассматриваемые ниже) носит название Cash Flow Model – Модель денежного потока, или модель «кэш-фло».

О братная задача:

0 1 2 3 n t

C₁ C₂ C_{3 …..} C_n

НС_пст= С_t /(1 + r)^t

Оценка потока пренумерандо:

П рямая задача:

С₁ С₂ С_{3 ….} С_n

0 1 2 n-1 n t

БС_пре= С_t * (1 + r)^n-t+1 = (1 + r) * БС_пст ;

О братная задача:

С₁ С₂ С₃ С_n

0 1 2 n-1 n t

НС_пре= С_t / (1 + r)^t-1 = (1 + r) * НС_пст ;

Оценка аннуитетов:

А ННУИТЕТ (англ: Annuity) – частный случай денежного потока; это – денежный поток, в котором денежные платежи (поступления) во всех периодах одинаковые.

А А А А A A A

0 1 2 n-1 n t 0 1 2 n t

АННУИТЕТ ПРЕНУМЕРАНДО АННУИТЕТ ПОСТНУМЕРАНДО

Формулы оценки аннуитетов для прямой (БА) и обратной (НА) задач:

Аннуитеты постнумерандо:

БА_пст = А * (1 + r)^n-t = A * M3(r, n);

HA_пст = A * 1 / (1 + r)^t = A * M4(r, n),

г де М3 (r, n) = (1 + r)ⁿ – 1 / r ; М3 (r, n ) – табличное значение;

М4 (r, n) = 1 – (1 + r)^-n / r ; М4 (r, n) – табличное значение.

Аннуитеты пренумерандо:

БА_пре = БА_пст* (1 + r) = A * M3(r, n) * (1 + r);

НА_пре = НА_пст * (1 + r) = A * M4(r, n) * (1 + r);

И зменяющийся аннуитет: а а а А А А

В этом случае аннуитет пред-

ставляют как сумму (раз -

ность) двух аннуитетов 0 1 2 3 4 5 периоды

Бессрочный аннуитет ( при n > 50 ): БА = А / r;

Вопросы для повторения

1. Что значит "временная ценность денег"?

2. Чем отличается наращивание стоимости от ее дисконтирования?

3. Что такое денежный поток и как его можно представить?

4. Что решается прямой задачей оценки денежного потока и что - обратной?

5. Какие существуют типы денежного потока?

6. Что такое аннуитет и для чего его используют?