6. Теория электропроводности Зоммерфельда

6.1. Распределения Максвелла − Больцмана и Ферми − Дирака

Во времена Друде и затем в течение многих лет вполне разумным казалось предположение, что распределение электронов по скоростям совпадает с распределением в обычном классическом газе с плотностью n = N/V и описывается в состоянии равновесия при температуре Т формулой Максвелла − Больцмана. При таком предположении число электронов в единице объема, скорости которых лежат в интервале с центром в , равно , где

(6.1)

Как мы видели, подобное предположение в сочетании с моделью Друде приводит к результатам, согласующимся по порядку величины с законом Видемана − Франца; вместе с тем из него следует также, что электроны должны давать большой вклад в теплоемкость металла, равный (³/₂)k_B на один электрон [6]. Такой вклад обнаружен не был.

В течение четверти века этот парадокс вызывал сомнения в справедливости модели Друде, которые рассеялись лишь после создания квантовой теории и признания того факта, что для электронов в силу принципа запрета Паули распределение Максвелла − Больцмана (6.1) должно быть заменено распределением Ферми − Дирака: (И для любых других частиц, подчиняющихся статистике Ферми − Дирака).

(6.2)

Здесь ћ − постоянная Планка, деленная на :

,

а Т − температура, определяемая из условия нормировки.

и равная обычно десяткам тысяч градусов. При интересующих нас температурах (ниже 10³ К) и при электронных плотностях, типичных для металла, распределение Ферми − Дирака чрезвычайно сильно отличается от распределения Максвелла − Больцмана (рис. 6.1).

Мы используем стандартные векторные обозначения. В частности, обозначает абсолютную величину вектора . Далее, мы говорим, что скорость заключена в интервале с центром в , если ее −я компонента лежит в интервале между и , где ; символ используется и для обозначения объема области в пространстве скоростей с центром в и размерами , т.е. . (Таким образом, мы следуем широко распространенной среди физиков практике не применять различных обозначении для самой области и ее объема − значение символа всегда ясно из контекста.)

Ниже мы увидим, что в действительности вклад от электронов при комнатной температуре имеет примерно в сто раз меньшую величину и становится еще меньше с понижением температуры.

Рис. 6.1,а − распределения Максвелла – Больцмана и Ферми – Дирака при типичных металлических плотностях и комнатной температуре [6]

Обе кривые относятся к плотности, соответствующей температуре Т = 0,01 Т₀. Масштаб одинаков для обоих распределений и выбран так, чтобы при низких энергиях распределение Ферми − Дирака достигало единицы. Ниже комнатной температуры различие между распределениями становится еще более отчетливым;

б − те же распределения в интервале от до , построенные в другом масштабе.

Ось х растянута примерно в 10 раз, а ось сжата примерно в 500 раз, чтобы распределение Максвелла − Больцмана полностью поместилась на графике. При таком выборе масштабов кривая, соответствующая распределению Ферми − Дирака, сливается с осью х [6].

Температура То определяется из условия нормировки.

В этой главе мы рассмотрим теорию, приводящую к распределению Ферми − Дирака (6.2), и покажем, как сказывается статистика Ферми − Дирака на свойствах электронного газа в металлах.

Сразу же после открытия того, что для объяснения связанных состояний электронов в атомах необходим принцип запрета Паули, Зоммерфельд применил этот принцип к свободному электронному газу в металлах, что позволило избавиться от наиболее вопиющих термодинамических противоречий исходной модели Друде. В большинстве случаев Модель Зоммерфельда представляет собой просто модель классического электронного газа Друде с единственным отличием: распределение электронов по скоростям описывается статистикой Ферми − Дирака, а не Максвелла − Больцмана. Чтобы обосновать использование распределения Ферми − Дирака и оправдать его включение в классическую во всех остальных отношениях теорию, нам необходимо изучить квантовую теорию электронного газа.

Для простоты изложения мы сначала рассмотрим свойства электронного газа в основном состоянии (т.е. при ), а затем уже перейдем к изучению отличных от нуля температур. Оказывается, что такие свойства имеют большой самостоятельный интерес: мы увидим, что для электронного газа с плотностью, типичной для металлов, комнатная температура фактически является очень низкой и поэтому во многих случаях можно считать, что . Благодаря этому многие (хотя и не все) параметры, характеризующие электронные свойства металлов, имеют даже при комнатной температуре практически ту же самую величину, что и при [6].