5.2. Статическая электропроводность металла

В соответствии с законом Ома ток I через проводник пропорционален падению напряжения V вдоль проводника: . Сопротивление проводника R зависит от его размеров, но не зависит от величины тока или падения напряжения. Модель Друде позволяет объяснить такую зависимость и оценить величину сопротивления [6].

Обычно зависимость R от формы проводника устраняют, вводя новую величину, характеризующую уже только сам металл, из которого сделан проводник. Удельное сопротивление ρ определяется как коэффициент пропорциональности между напряженностью электрического поля Е в некоторой точке металла и вызываемой им плотностью тока j:

(5.3)

В общем случае Е и j не обязательно параллельны друг другу. Тогда вводят тензор удельного сопротивления. Плотность тока j представляет собой вектор, параллельный потоку заряда; его величина равна количеству заряда, проходящему за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную потоку. Поэтому, если через проводник длиной L и площадью поперечного сечения А идет постоянный ток I, то плотность тока равна . Так как падение напряжения на проводнике равно , из формулы (5.3) следует, что и, следовательно, .

Если все n электронов в единице объема движутся с одинаковой скоростью , то плотность тока параллельна . Далее, за время электроны сместятся на расстояние в направлении , поэтому за это время площадь , перпендикулярную направлению тока, пересекут электронов. Так как каждый электрон несет заряд , полный заряд, пересекающий за время , равен , и, следовательно, плотность тока равна

(5.4)

В любой точке металла электроны всегда движутся в самых различных направлениях и обладают разными тепловыми скоростями. Суммарная плотность тока дается выражением (5.4), где − средняя скорость электронов.

В отсутствие электрического поля все направления движения электронов равновероятны и среднее значение его скорости обращается в нуль, а соответственно суммарная плотность тока также равна нулю. В присутствии поля Е средняя скорость электронов отлична от нуля и направлена противоположно полю (так как заряд электрона отрицателен). Эту скорость можно рассчитать следующим образом. Рассмотрим какой−либо электрон в нулевой момент времени. Пусть t − время, прошедшее после его последнего столкновения. Скорость этого электрона в нулевой момент времени будет равна его скорости непосредственно после столкновения плюс дополнительная скорость , которую электрон приобрел после столкновения. Так как мы предполагаем, что после столкновения скорость электрона может иметь любое направление, вклад от в среднюю скорость электронов равен нулю, и поэтому она равна среднему значению величины . Однако среднее значение равно времени релаксации т.

Поэтому, выражая скорость через ускорение имеем:

, , (5.5)

откуда

, (5.5,a)

− подвижность электронов.

Этот результат обычно формулируют, используя характеристику, обратную удельному сопротивлению,− проводимость σ = 1/ρ:

, (5.6)

Таким образом, мы получили линейную зависимость j от Е и нашли для проводимости о выражение, в которое входят только известные величины и время релаксации τ. Следовательно, используя (5.6) и наблюдаемые значения удельного сопротивления, можно определить величину времени релаксации:

. (5.7)

В табл. 5.2 приведены удельные сопротивления некоторых типичных металлов при различных температурах. Обратите внимание на его сильную температурную зависимость. При комнатной температуре удельное сопротивление зависит от температуры Т примерно линейным образом, но при достижении низких температур оно резко уменьшается.

Таблица 5.2

Удельные сопротивления некоторых элементов и времена релаксации при различных температурах [6]

Элемент	Времена релаксации (10‒14) сек			Удельные сопротивления Ом∙см
	77 К	273 К	373 К	77 К	273 К	373 К
Li	7,3	0,88		1,04	8,55	12,4
Na	17	3,2		0,8	4,2	Плав.
К	18	4,1		1,38	6,1
Rb	14	2,8		2,2	11,0
Cs	8,6	2,1		4,5	18,8
Cu	21	2,7	1,9	0,2	1,56	2,24
Ag	20	4,0	2,8	0,3	1,51	2,13
Au	12	3,0	2,1	0,5	2,04	2,84
Be		0,51	0,27		2,8	5,3
Mg	6,7	1,1	0,74	0,62	3,9	5,6
Ca		2,2	1,5		3,43	5,0
Sr	1,4	0,44		7		23
Ba	0,66	0,19		17	60
Nb	2,1	0,42	0,33	3,0	15,2	19,2
Fe	3,2	0,24	0,14	0,66	8,9	14,7
Zn	2,4	0,49	0,34	1,1	5,5	7,8
Cd	2,4	0,56		1,6	6,8
Hg	0,71			5,8	Плав.	Плав.
Al	6,5	0,80	0,55	0,3	2,45	3,55
Ga	0,84	0,17		2,75	13,6	Плав.
In	1,7	0,38	0,25	1,8	8,0	12,1
Tl	0,91	0,22	0,15	3,7	15	22,8
Sn	1,1	0,23	0,15	2,1	10,6	15,8
Pb	0,57	0,14	0,099	4,7	19,0	27,0
Bi	0,072	0,023	0,016	35	107	156
Sb	0,27	0,055	0,036	8	39	59

При комнатной температуре удельные сопротивления обычно имеют порядок одного микроом∙сантиметра (мкОм∙см). Если − удельное сопротивление, выраженное в мкОм∙см, соотношение (5.7) для времени релаксации удобно записать в виде

. (5.8)

В общем случае, вклад в проводимость могут вносить несколько типов носителей, в электронных проводниках это, главным образом, электроны и дырки (дырка — это электронная вакансия, несущая положительный заряд), а в ионных катионы и анионы. Теория проводимости объясняют, каким образом n и µ зависят от молекулярной структуры и таких факторов, как температура и величина внешнего поля. В полимерах подвижность зависит также от морфологии образца. Диапазон подвижностей различных материалов столь же широк, как и диапазон проводимости (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Диаграмма значений подвижности носителей зарядов [9]

В полимерах с насыщенными химическими связями, т.е. цепями с σ−связями, электронный тип проводимости практически отсутствует, а имеющийся уровень электропроводности обеспечивается примесными ионами. Высокий уровень проводимости может быть достигнут при использовании композиционного материала, получаемого введением электропроводящего порошка в полимерный изолятор. Для этих целей часто используют порошки металлов и технический углерод, сажу. Компонент с высокой электропроводностью определяет процесс проводимости, а полимер ограничивает ее величину, образуя барьеры между частицами. Электронная проводимость возможна в полимерах с ненасыщенными (сопряженными) химическими связями, основная цепь которых состоит из последовательности π−связей. Поиск и последующее открытие органических структур, в которых возможна электронная проводимость, во многом стимулирована идеями биолога Сент–Дьордьи [9], обсуждавшего роль полупроводящих структур в живых системах. Интересно, что с помощью таких структур не удалось объяснить сложный механизм переноса электронов в живых клетках. Тем не менее, эта работа натолкнула химиков на мысль, что некоторые органические соединения, для которых была доказана делокализация электронов в химических реакциях, могут обладать повышенной электропроводностью. Это стимулировало исследование органических кристаллов и привело к открытию высокопроводящих и даже сверхпроводящих органических солей.

Аналогичный подход заложил основы успешного развития в последние годы исследований в области проводящих полимеров, обладающих к тому же нужными механическими свойствами, для получения проводящих пластмасс. Жесткость основной цепи сопряженных полимеров приводит к тому, что два эти свойства противоречат друг другу, однако, в некоторых случаях эту проблему удалось решить.

Электронная и ионная проводимость и проводимость гетерогенных композитов каждая играет по–своему важную свою роль в полимерных материалах, однако представляют собой три совершенно разных предмета для изучения [9].