Входные характеристики

При исследовании комплексных частотных характеристик последовательный колебательный контур удобно представлять в виде многополюсника с тремя парами выводов (рис. 4.8, а, б). Внешнее воздействие на контур обычно задают в виде напряжения приложенного к зажимам , а в качестве отклика цепи рассматривают входной ток цепи напряжение на емкости или напряжение на индуктивности . Таким образом, последовательный колебательный контур обладает как входными, так и передаточными характеристиками.

Рассмотрим АЧХ и ФЧХ входной проводимости

(4.19)

Представляя в показательной форме

(4.20)

найдем аналитические выражения для АЧХ (рис. 4.9, а) и ФЧХ (рис. 4.9, 6) входной проводимости:

(4.21)

(4.22)

а)	а)
б)	б)
Рис. 4.9. АЧХ (а) и ФЧХ (б) входной проводимости последовательного колебательного контура [14]	Рис. 4.10. АЧХ (а) и ФЧХ (б) входного сопротивления последовательного колебательного контура [14]

Для удобства приведем также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления контура (рис. 4.10), построенные в соответствии с выражениями:

	(4.23)

При выводе выражений (4.21) — (4.23) каждое из слагаемых, стоящих в круглых скобках , умножалось и делилось на , после чего за скобки выносился общий множитель

Если контур настроен на частоту источника, то мнимые составляющие входного сопротивления емкости и индуктивности взаимно компенсируются, входное сопротивление контура имеет чисто резистивный характер и минимально по модулю, а полная входная проводимость достигает максимального значения и равна . Векторные диаграммы, соответствующие этому случаю, изображены на рис. 4.11, е.

Рис. 4.11. Схемы и векторные диаграммы сопротивлений последовательной RLC-цепи [14].

Всякое отклонение частоты внешнего воздействия от резонансной приводит к нарушению баланса между мнимыми составляющими входного сопротивления емкости и индуктивности, что, в свою очередь, вызывает увеличение модуля входного сопротивления , уменьшение модуля входной проводимости и отклонение аргумента входной проводимости от нулевого значения. Из рис. 4.9 видно, что чем выше добротность контура тем более заметно выражен максимум на резонансной частоте и более резко изменяется вблизи

Комплексные частотные характеристики входной проводимости , приведенные на рис. 4.9, имеют чисто качественный характер и неудобны для практического использования, так как содержат большое число параметров, причем для каждого сочетания и необходимо строить отдельные кривые. Поэтому на практике обычно применяют нормированные входные характеристики, которые позволяют в обобщенной форме построить кривые для всех возможных сочетаний значений параметров. В качестве аргумента нормированных характеристик удобно использовать так называемую обобщенную расстройку [14]

(4.24)

На резонансной частоте , на частотах ниже резонансной , причем нулевому значению соответствует . На частотах выше резонансной , а при значение обобщенной расстройки также равно бесконечности.

В ряде случаев в качестве аргумента нормированных частотных характеристик удобно использовать абсолютную расстройку , относительную расстройку или нормированную частоту .

Данные величины легко выражаются одна через другую:

(4.25)

(4.26)

причем на частотах, близких к резонансной ( ), последнее выражение может быть заменено следующим приближенным соотношением:

(4.27)

широко применяемым при решении различных практических задач.

Комплексная входная проводимость , и ее модуль , обычно нормируются по значению, которое они принимают на резонансной частоте [ ]:

	(4.28)

При использовании (4.24), (4.28) выражения (4.19), (4.21), (4.22) преобразуются к виду:

	(4-29)

Нормированные АЧХ и ФЧХ входной проводимости последовательного колебательного контура приведены на рис. 4.12 и 4.13 (в последнем случае комплексные частотные характеристики цепи называют обобщенными).

Ток достигает максимума, когда две реактивные компоненты компенсируют друг друга, т.е. при резонансной частоте (рис.4.12),

(4.30)

Рис.4.12. Обобщенная АЧХ входной проводимости последовательного колебательного контура [14]

Рис.4.13. Обобщенная ФЧХ входной проводимости последовательного колебательного контура [14]

Для дифференциальное уравнение (4.17) преобразуется в уравнение переходного процесса последовательной резонансной цепи. Заменяя ток зарядом конденсатора, можно записать

(4.31)

Принимая решение в виде

(4.32)

и подставляя его в уравнение (4.31), находим, что р должно удовлетворять условию

(4.33)

Отсюда

(4.34)

Свободно колеблющаяся цепь RLC имеет коэффициент затухания

(4.35)

и частоту

(4.36)

которая для цепи без затухания идентична резонансной частоте установившегося состояния. Введя α и ω₀ в решение уравнения (4.34), получим полную проводимость резонансной цепи в виде

(4.37)

В случае слабого затухания ( ) удобно иметь дело не с самой частотой, а с ее отклонением от резонансного значения путем приближения

(4.38)

(4.39)

(4.40)

Приравнивая выражения (4.2) и (4.40), получим относительную диэлектрическую проницаемость, коэффициент потерь и тангенс угла потерь резонирующего диэлектрика (рис. 4.14) [10, 14] :

(где )	(4.41)

Диэлектрическая проницаемость возрастает с частотой, достигая максимума, равного , при , затем падает, проходя через нуль при резонансной частоте, до минимума, равного , при , и вновь асимптотически приближается к нулю. Эта аномальная дисперсная характеристика диэлектрической проницаемости типична для резонансного спектра. Она сопровождается колоколообразной характеристикой поглощения , которая при ω₀ проходит через максимум, равный . Фазовый угол δ изменяется от нуля при низкой частоте до при резонансе и при высокой частоте, проходя через значения и в точках .

Мощность, отданная резонансной цепи источником синусоидального напряжения постоянной амплитуды, изменяется пропорционально , т.е.

(4.42)

Точки являются точками половинной мощности последовательной резонансной цепи с низким затуханием [см. уравнение 4.9], т.е.

(4.43)

является половиной ширины резонансной кривой поглощения. Относительная половина ширины, равная

(4.44)

Рис.4.14. Резонансные характеристики диэлектрика [10]

Если элементы резонансной цепи с сосредоточенными параметрами включаются параллельно питающему напряжению (рис.4.15), то полное сопротивление (а не полная проводимость) становится максимальным при резонансе

Рис. 4.15. Параллельный резонансный контур[10].

и ток, получаемый от источника постоянного напряжения, проходит через минимум при ω₀. Это положение соответствует поведению диэлектрика или передающей линии, настроенной на антирезонанс.

С введением таких эквивалентных схем, симулирующих свойства диэлектриков, завершается задача макроскопической теории. Более глубокое исследование поведения диэлектриков уводит нас от феноменологической теории к молекулярной.