3.5. Решеточное поглощение и отражение

Если вклад в диэлектрическую постоянную от колебаний решетки известен, то можно непосредственно вычислить соответствующие оптические свойства образца, такие как коэффициент поглощения , показатель преломления и коэффициент отражения , с помощью соответствующих формул.

Для лучшего согласия с экспериментом необходимо ввести для ТО фонона постоянную затухания . В результате уравнение движения (3.78) приобретает вид [5]

(3.89)

а соответствующая диэлектрическая постоянная в (3.83) становится комплексной (в СИ):

Рис. 3.16. Реальная и мнимая части комплексной диэлектрической постоянной для (а). Коэффициенты отражения, вычисленные с помощью (3.93): , (б). Вертикальные стрелки указывают на частоты ТО и LO фононов [5].

(3.90)

Постоянную ε(ω) можно также выразить через и как в (3.87):

(3.91)

Хотя приведенные выше результаты были получены для ПГО, равномерно распределенных в пространстве, можно показать, что они также справедливы для ионных (или частично ионных) кристаллов, содержащих два атома в элементарной ячейке, при условии, что мы произведем следующие замены. Смещение ПГО заменяется относительным смещением двух ионов в примитивной элементарной ячейке, или

(3.92)

Где и являются, соответственно, смещением положительных и отрицательных ионов, а − приведенная масса двух ионов А и В с массами и _: . Заряд Q должен быть заменен эффективным ионным зарядом на ионах (положительном и отрицательном). Частоты поперечных и продольных осцилляций теперь идентифицируются как частоты ТО и LO фононов, соответственно.

Реальная и мнимая части ε(ω) для γ/ω = 0,05 показаны на рис. 3.16,а. Коэффициенты отражения для нескольких значений γ/ω, вычисленные с помощью (3.91), приведены на рис. 3.16,б. Обратите внимание на глубокий минимум в отражении, соответствующий . На рис. 3.17 показаны измеренные спектры решеточного отражения для ряда полупроводников типа цинковой обманки. Их можно достаточно хорошо аппроксимировать кривыми, рассчитанными с помощью формулы (3.93) и формул:

, (3.93)

используя частоту фонона и постоянную затухания в качестве единственных подгоночных параметров.

Рис. 3.17. Сравнение экспериментальных спектров решеточного отражения для ряда полупроводников типа цинковой обманки (сплошные кривые) со спектрами, расcчитанными с помощью (3.21). Частоты и постоянные затухания ТО и LO фононов были определены путем подгонки к экспериментальным данным. Спектры в левой части рисунка измерены при температуре жидкого гелия, а в правой части − при комнатной температуре [5].

4. Представление диэлектриков с помощью эквивалентных схем

4.1. Двух- и трех- элементные эквивалентные схемы

Вольтамперная характеристика, измеренная для диэлектрика в конденсаторе только при одной частоте, допускает любое число схем интерпретации [10, 12,13,14].

Простейшей эквивалентной схемой была бы схема, содержащая идеальный конденсатор и сопротивление в последовательном или параллельном соединении. Очевидно, как показано на рис.4.1, частотные зависимости этих элементарных схем имеют совершенно различный вид.

Рис.4.1 Простейшие эквивалентные схемы для диэлектрика в конденсаторе

Насколько хорошо каждая схема соответствует поведению действительного диэлектрика, может быть установлено только путем расчета частотной характеристики этих схем и последующего сравнения ее с действительно измеряемой характеристикой диэлектрика.

При последовательном соединении приложенное синусоидальное напряжение равно сумме падений напряжения на сопротивлении и конденсаторе; при параллельном соединении полный синусоидальный ток равен сумме токов, протекающих по этим двум элементам схемы. Полную проводимость конденсатора с геометрической емкостью С₀ выразим через комплексную диэлектрическую проницаемость. Запишем полные проводимости двух схем, получим относительную диэлектрическую проницаемость, коэффициент потерь и тангенс угла потерь в виде [10]:

Последовательное соединение	Параллельное соединение
		(4.1,а)
		(4.1,б)
		(4.2,а)
		(4.2,б)
		(4.3)

Параллельное соединение

Последовательное соединение
Во всем диапазоне частот
На низких частотах

Рис.4.2. Частотные зависимости элементарных схем замещения

Однако соответствующая комбинация обеих схем позволяет получить множество кривых с максимумом и минимумом тангенса угла потерь, которые могут соответствовать действительно измеренной частотной характеристике. На рис. 4.3 и рис. 4.4 представлены два типичных примера: частотные характеристики воды и конденсаторной жидкости (пиранол) при комнатной температуре [10] .

Рис. 4.3. Представление частотной характеристики воды с помощью трехэлементной эквивалентной схемы,

Очевидно, что даже простая трехэлементная эквивалентная схема может обеспечить относительно хорошее соответствие во всем поддающемся оценке частотном диапазоне. Эта чисто формальная эквивалентность между схемой с сосредоточенными параметрами и диэлектриком иллюстрируется на рис. 4.5 измененным расположением конденсаторов . Эти две схемы неразличимы по результатам измерений[10] .

Рис. 4.4. Диэлектрические характеристики пиранола и приближенный расчёт по эквивалентной схеме.

Рис. 4.5. Две эквивалентные схемы спектра полярного материала.	Рис.4.6. Схема, дающая простейший тип релаксационного спектра

Диэлектрические спектры, которые могут быть представлены комбинациями −цепей, называются релаксационными спектрами. Общим критерием таких спектров является то, что диэлектрическая проницаемость может или оставаться постоянной или падать с возрастанием частоты, тогда как тангенс угла потерь как функция частоты может и возрастать и падать.

Схема, соответствующая кривой для пиранола, представляет простейший тип релаксационного спектра, встречающегося в полярных диэлектриках, и поэтому должна быть рассмотрена подробнее (рис. 4.6). Полная проводимость в этом случае равна

(4.4)

Время в уравнении (4.4). Разделив действительную и мнимую части, для полной проводимости схемы получим выражение

(4.9)

Приравнивая уравнение (4.9) и (4.2), получим относительную диэлектрическую проницаемость и коэффициент потерь эквивалентной схемы

	(4.10)

Отсюда ее комплексная диэлектрическая проницаемость равна

(4.11)

, где (4.13)

В этих уравнениях удобно ввести удельные диэлектрические проницаемости: − для нулевой частоты и − для бесконечно большой частоты ( ), т.е.

,

Тогда их разность будет иметь вид

(4.14)

При этом уравнение (4.11) можно записать следующим образом:

(4.15)

причем

Коэффициент потерь достигает максимума ( ) при частоте

(4.16)

при которой разность падает до своего половинного значения ( ) (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Частотная характеристика эквивалентной схемы (рис. 4.6) [10] .

Нанесенная в логарифмической частотной шкале зависимость коэффициента потерь от величины представляет симметричную колоколообразную характеристику поглощения, имеющую максимум при охватывающую приблизительно два десятка ниже и выше этого значения, тогда как зависимость только падает, образуя S−образную характеристику, ограниченную диапазоном частоты в один десяток по обе стороны от центра. Эта характеристика соответствует спектру релаксации электрического диполя.

Релаксационный спектр, соответствующий RL−цепям, может возникать в магнитных материалах, и, наконец, могут проявиться резонансные спектры, которые отличаются от релаксационных наличием аномальной дисперсии диэлектрической проницаемости.

Рассмотрим частотную зависимость последовательной – цепи (рис. 4.8).

а	б
Рис. 4.8. К определению входных и передаточных характеристик последовательного колебательного контура [14]

Приложенное синусоидальное напряжение уравновешивается напряжением на трех элементах цепи, т.е. можно записать

(4.17)

Решение этого дифференциального уравнения для установившегося режима синусоидальных токов равно

(4.18)