3.4. Механизмы упругой поляризации.

По существу мы будем обсуждать решеточные колебания (колебания атомов в кристаллической решетке, приводящие к атомной поляризации) в диэлектриках и полупроводниках. Можно утверждать, что колебания атомов в кристалле могут быть описаны волновыми уравнениями. Например, звук является такого рода колебанием. Таким образом, движения атомов в кристалле могут быть охарактеризованы их векторами смещений (в реальном пространстве) и их волновыми векторами k.

Длинноволновое колебание в кристалле заключается в почти однородном смещении идентичных атомов в различных элементарных ячейках, такие колебания называются акустическими.

Колебания атомов или ионов под воздействием внешнего переменного электрического поля при атомной поляризации в кристаллах, содержащих более одного атома в примитивной ячейке, можно разделялись на акустические и оптические фононы, по аналогии с фотонами при распространении световых волн. Как следует из названия, оптические фононы могут взаимодействовать с электромагнитным излучением

Поскольку фононы представляют собой квантованные простые гармонические осцилляторы, начнем с рассмотрения отклика совокупности идентичных заряженных простых гармонических осцилляторов (ПГО) на поле излучения в виде плоской волны [5]:

, (3.77)

Предположим, что эти ПГО равномерно распределены по всему пространству (во избежание проблем, связанных с анизотропией или наличием поверхностей). Массу и заряд ПГО обозначим М и Q, соответственно. Естественной колебательной частотой каждого из них является . Под действием приложенного поля ПГО смещаются из своего положения равновесия на вектор . Уравнение их движения имеет вид

(3.78)

В равновесном состоянии решения (3. 78) могут быть выражены как:

(3.79)

Подставляя последнее выражение в (3.78), получим решение для :

(3.80)

Поскольку эти ПГО заряжены и смещаются на одинаковую величину , они создают макроскопическую поляризацию , которая также колеблется c частотой :

, (3.81)

где − плотность ПГО. Вектор электрического смещения среды выражается в системе единиц СИ как

, (3.82)

где − диэлектрическая функция изотропной среды. Подставив (3.80) и (3.81) в (3.82), найдем ε в СИ [5]:

. (3.83)

Прежде чем продолжить рассмотрение (3.83), необходимо включить в полную диэлектрическую функцию среды вклад от валентных электронов. Чтобы отличать вклад валентных электронов от вклада ПГО, обозначим эти вклады как и (е и ℓ являются обозначениями электрона и решетки). Пусть ширина запрещенной зоны (низкая частота), так что для электронов поле излучения представляется постоянным и можно аппроксимировать как . С другой стороны, если и , то ПГО не могут следовать за электрическим полем и больше не вносят вклада в полную диэлектрическую функцию, т.е. в (3.83) . Таким образом, для полная диэлектрическая функция . Принято обозначать как и называть ее высокочастотной диэлектрической постоянной, поскольку это − диэлектрическая постоянная при частоте, которая много выше колебательных частот, но ниже энергий возбуждения электронов. Если включить в (3.83), то в СИ будет иметь вид

, (3.84)

при условии, что .

Поскольку в среде нет избыточных зарядов, вектор электрического смещения D удовлетворяет уравнению Гаусса:

(3.85)

Или эквивалентно

Случай 1 (поперечное поле): .

является резонансной частотой среды при возбуждении поперечного колебания (или сокращенно поперечной резонансной частотой).

Случай 2 (продольное поле): и .

Если электрическое поле является продольным должна обратиться в нуль, это может произойти при частотах определяемых из условия . (или сокращенно продольной резонансной частотой).

Заряд Q и масса М ПГО являются микроскопическими параметрами, которые трудно измерить. Напротив, , , можно определить из эксперимента. Часто бывает удобно ввести другую величину − так называемую низкочастотную диэлектрическую постоянную , для того чтобы выразить диэлектрическую функцию через измеряемые величины [5]:

, (3.86)

тогда

(3.87)

или

(3.88)