3.2. Простейшие схемы замещения диэлектриков с потерями

Описание диэлектрика с потерями в переменном поле целесообразно представить (чисто формально) в виде различных эквивалентных схем, состоящих из набора "идеальных" конденсаторов, резисторов, индуктивностей. При этом резисторы имитируют диэлектрические потери, конденсаторы характеризуют токи смещения, а индуктивности могут представлять различные резонансные явления, связанные с особенностями поляризации. Схема замещения реального диэлектрика идеальными элементами может адекватно представлять данный диэлектрик только при условии совпадения частотных характеристик . Наиболее простыми являются схемы замещения, содержащие одну емкость и одно активное сопротивление. В случае параллельного соединения и удобно использовать «треугольник проводимостей» [14], (рис. 3.1).:

(3.6)

Тангенс угла потерь при этом

. (3.7)

Активная мощность:

, (3.8)

с учетом (3.7):

(3.9)

а удельная мощность потерь имеет вид:

, (3.10)

что совпадает с выражением (2.59).

Рис.3.1 Параллельная схема замещения конденсатора с потерями	Рис.3.2 Последовательная (б) схема замещения конденсатора с потерями

В случае последовательного соединения и (рис. 3.2) при расчетах используют треугольник сопротивлений [14]:

. (3.11)

Тангенс угла потерь

, (3.12)

Активная мощность:

, (3.13)

Дальнейшие преобразования приводят к виду:

. (3.14)

(3.15)

Тепловыделение (мощность потерь) в реальном диэлектрике не зависит от выбора схемы замещения [12, 13, 14] . Из сравнения формул (3.7) и (3.10) имеем:

(3.16)

На рис. 3.3 приведены частотные характеристики согласно выражениям (3.7) и (3.11).

Рис. 3.3 Частотная зависимость для параллельной (Par) и последовательной (Posl) схем замещения диэлектрика в обычном и логарифмическом масштабах.

В заключение еще раз отметим, что выбор схемы замещения при описании свойств диэлектрика определяется его частотными характеристиками.

3.4. Тепловые виды поляризации

Рассмотрим процесс установления плотности тока в зависимости от времени в диэлектрике, к которому в некоторый момент t₀ приложено постоянное электрическое поле (рис. 3.4). В общем случае в изменении тока через диэлектрик можно выделить три характерных участка [12, 13].

В момент приложения поля E₀ происходит резкий скачок электрического тока (участок 1), обусловленный установлением «быстрых» видов поляризации и зарядкой «геометрической» емкости. Этот пик занимает очень малый промежуток времени на кривой j(t). Предполагают, что «быстрые» процессы определяются упругими видами поляризации. Затем для многих диэлектриков наблюдается плавный спад тока со временем (участок 2). Считают, что при этом происходит установление более «медленных» тепловых видов поляризации. Участок 3 характеризует электропроводность диэлектрика ( ), которая обычно мала, но имеет конечное значение.

Зависимость при служит основанием для феноменологической классификации диэлектрических потерь при переменном напряжении [12, 13].

Рис. 3.4. Временная зависимость плотности тока при включении электрического поля .

Исключив из рассмотрения начальный участок 1 кривой , ток, протекающий через диэлектрик, можно разбить на две составляющие: установившийся (при t→∞) ток сквозной проводимости ,

( ) (3.17)

и спадающий ток (ток абсорбции) .

, (3.18)

где — удельное сопротивление диэлектрика. А ток абсорбции изменяется со временем по экспоненте

Установившийся ток сквозной проводимости равен

(3.19)

где — соответствующая току абсорбции проводимость диэлектрика, — постоянная времени спада тока абсорбции.

В диэлектриках с выраженной тепловой поляризацией электрический момент, индуцированный электрическим полем, определяется не только величиной напряженности этого поля, но и интенсивностью теплового движения частиц. В твердых телах возможны электронная, ионная тепловая поляризации, а также дипольная. При отсутствии внешнего поля диэлектрик находится в состоянии термодинамического равновесия. Приложенное внешнее поле нарушает это равновесие, вследствие чего происходит определенная внутренняя перестройка в термодинамической системе (диэлектрике), в результате которой через некоторое время (время релаксации т) достигается новое (поляризованное) стационарное состояние.

Следовательно, тепловая поляризация возникает за счет появления электрического момента в объеме диэлектрика путем асимметричного распределения элементарных электрических зарядов и диполей в процессе установления нового состояния. Такой вид сравнительно «медленной» и зависящей от температуры поляризации называют также релаксационной. Рассмотрим более подробно механизм ионной тепловой поляризации.

Ионная тепловая поляризация, в основном, наблюдается в твердых диэлектриках с нерегулярной структурой (стеклах, керамике), однако это не исключает существования ее в монокристаллах вследствие наличия структурных дефектов.

Рассчитаем поляризуемость , принимая во внимание, что при анализе тепловых механизмов поляризации выбирается статистическая модель. Пусть диэлектрик содержит слабосвязанных ионов в единице объема. При тепловом хаотическом движении эти релаксирующие ионы преодолевают некоторый средний потенциальный барьер , разделяющий два вероятных местоположения иона. Задача имеет смысл, когда , т. е. при сравнительно низких температурах.

Вдоль любого направления, выбранного в диэлектрике, например, вдоль оси X, перемещается в среднем слабосвязанных ионов (рис. 3.5,а). Среднее положение δ, разделяющее вероятные положения релаксируюших ионов, имеет порядок постоянной кристаллической решетки (примерно 10⁻⁹ м). Обозначим для определенности равновероятные положения ионов в потенциальных минимумах цифрами 1 и 2.

Относительная вероятность того, что ион в процессе тепловых колебаний около равновесного положения может приобрести при температур Т энергию, большую или равную высоте барьеров, равна

Рис. 3.5. К расчёту поляризуемости [12].

В таком случае ион преодолевает потенциальный барьер и переходит из положения 1 в положение 2 (или обратно). Если частота тепловых колебаний ионов равна ν Герц, то за секунду из энергетического положения 1 в положение 2 (и наоборот) перескакивает следующее число ионов:

(3.20)

Очевидно, что при таком обмене поляризация не возникает.

Если к диэлектрику приложить электрическое поле ( ), направленное вдоль выбранной ранее оси X, то вероятность переходов слабосвязанных ионов из положения 1 в положение 2 увеличивается (рис. 3.5,б), в то время как вероятность встречных переходов должна уменьшиться. Дело в том, что высота потенциального барьера изменится на величину . Таким образом, электрическое поле нарушает симметрию в распределении дефектных ионов. Через некоторое время после приложения поля окажется, что _, причем

. (3.21)

Так как представляет собой избыточную концентрацию ионов, то, очевидно, что электрический момент единицы объема равен:

(3.22)

Таким образом, из общего количества n₀ в тепловой поляризации фактически участвует лишь часть . Задача состоит в определении среднего дипольного момента , рассчитанного на каждый примесный ион:

α_iT (3.23)

Из (3.22) и (3.23) имеем:

. (3.24)

Для определения решим уравнение

Подсчитаем убывание ионов в положении 1 при включении поля и уменьшении барьера .

(3.25)

Подставляя значения и из (3.21), имеем:

. (3.26)

В слабых электрических полях , так что можно считать, что

(3.27)

Тогда уравнение (3.26) упрощается:

(3.28)

Введем обозначения:

(3.29)

Величина τ имеет размерность времени и является временем релаксации. После подстановки новых обозначений

. (3.30)

Решение этого уравнения:

(3.31)

Постоянная С определяется из начальных условий при . Отсюда .

Подставляя значение А из (3.29), имеем

(3.32)

Согласно (3.24),

(3.33)

При тепловая поляризация успеет установиться и

. (3.34)

Из (3.33) видно, что поляризуемость уменьшается с ростом температуры, поскольку тепловые колебания препятствуют упорядоченному распределению дефектных ионов в потенциальных «ловушках» или ямах.

Можно показать, что поляризуемость ,для дипольно-релаксационной поляризации также зависит от температуры и имеет вид:

(3.35)

где — собственный дипольный момент молекулы.

На рис. 3.6 приведено изменение релаксационной поляризованности Рр со временем при включении (а) и выключении (б) постоянного поля

Рис. 3.6. Изменение при включении (а) и выключении (б) электрического поля [ 13].

При наличии одной разновидности релаксационной поляризации при включении поля можно принять в соответствии с (3.32), что экспоненциально изменяется со временем t:

(3.36)

Выражение (3.35) можно использовать для выяснения закона изменения плотности тока абсорбции со временем на участке (2) рис. 3.4. Известно, что

(3.37)

Коэффициент имеет размерность проводимости и обозначен в (3.19) как g. В общем случае проводимость g зависит от температуры и напряженности поля

(3.38)

В слабых полях для тепловой и ионной поляризаций согласно (3.33)

. (3.39)

Для дипольно-релаксационной поляризации с учетом (3.34) имеем:

(3.40)

Рассмотрим некоторые соображения, которые позволяют перейти от рассмотрения тока абсорбции при помещении диэлектрика под постоянное напряжение к рассмотрению при работе диэлектрика под переменным напряжением.

Пусть в некоторые моменты времени напряжение скачком изменяется на (рис. 3.7). Каждому скачку напряжения должна соответствовать своя волна тока абсорбции которая спадает со временем по закону:

(3.41)

Рис. 3.7. К выводу общей формулы временной зависимости тока абсорбции [12, 13].

Согласно принципу суперпозиции, все отдельные токи налагаются друг на друга и суммируются так, что кривая общего тока имеет вид ступенчатого графика (рис. 3.7,6). Для любого момента времени полный ток абсорбции, который идет через диэлектрик, равен:

(3.42)

причем суммирование распространяется на все скачки напряжения, предшествовавшие моменту , т.е. для всех . В случае непрерывного изменения напряжения V сумма в правой части уравнения (3.42) переходит в интеграл

(3.43)

Разделим и умножим правую часть этого уравнения на .

(3.44)

Это общее выражение в функции текущего времени t, которое входит в подынтегральную функцию и в предел определенного интеграла. Вторая переменная величина х также есть время, которому соответствует изменение напряжения (причина явления), a t то время, которому соответствует (следствие).

Пусть напряжение изменяется по синусоидальному закону с угловой частотой т.е. Тогда

(3.45)

Анализ (3.45) дает общее выражение для тока абсорбции при работе диэлектрика в переменном поле.

При работе диэлектрика при синусоидальном напряжении должен быть также синусоидальным током, имеющим два компонента:

Активный (3.46)

Реактивный . (3.47)

Из этих выражений следует, что, сняв экспериментальную зависимость для случая помещения диэлектрика под постоянное напряжение (т.е. найдя ), можем рассчитать ток абсорбции и его фазу при работе данного диэлектрика в условиях переменного синусоидального напряжения. Отметим, что имеет активную составляющую тока при установлении тепловых видов поляризации, несмотря на то, что омическая проводимость отсутствует [12, 13].

С учетом вышесказанного уточним векторную диаграмму, изображенную на рис. 3.1. В переменном электрическом поле через диэлектрик текут три тока:

1. Емкостной ток, сдвинутый на 90° относительно вектора напряжения: = , а с учетом геометрических размеров плотность этого тока

(3.48)

2. Ток абсорбции, состоящий из активной (3.46) и реактивной (3.47) составляющих, обусловленный установлением тепловых видов поляризации, при этом, согласно (3.46) и (3.47),

(3.49)

3. Ток сквозной проводимости (установившийся). Составляющие плотностей полного тока, текущего через диэлектрик, равны:

Активная (3.50)

Реактивная (3.51)

Полная диаграмма токов приведена на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Полная диаграмма плотностей токов и напряженности поля для диэлектрика с потерями [12, 13]

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ ПРИ ТЕПЛОВОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ.

При наличии в диэлектрике одного вида релаксационной поляризации и считая, что , а также, не учитывая сквозную проводимость , можно получить формулы Дебая для и . Из сравнения выражений (3.16) и (3.47) имеем:

, (3.52)

— значение диэлектрической проницаемости для теплового вида поляризации [12, 13].

Если учесть наличие в любом диэлектрике упругой электронной поляризации, характеризуемой величиной диэлектрической проницаемости получаем

(3.53)

Для статического случая (при 0 )

(3.54)

Тогда выражение для действительной части комплексной диэлектрической проницаемости окончательно принимает вид:

(3.55)

Тангенс угла диэлектрических потерь равен отношению активного тока к реактивному, т.е. , где и определяются соотношениями (3.46) и (3.47), характеризует плотность реактивного тока, обусловленного установлением упруго−электронной поляризации. = Тогда

(3.56)

(3.57)

Выражения (3.56) и (3.57) позволяют получить общую формулу для комплексной диэлектрической проницаемости

(3.58)

Это дисперсионная формула Дебая [12, 13].

Используем формулы (3.55), (3.56), (3.57) для анализа частотной зависимости , , tgδ и удельных потерь ( ). При низкой частоте (ω→0) = , а при высокой − = . Так как характеризует само значение диэлектрической проницаемости, то в дальнейшем будем считать, что = (при ). На частоте диэлектрический вклад снижается вдвое (рис. 3.9,а).

Область частот, в которой происходит изменение диэлектрической проницаемости, называется областью дисперсии . Из формулы (3.57) следует, что = 0 как на низких (когда ) , так и на высоких ( частотах. Можно показать, исследуя и , что имеет максимум на частоте , т.е. когда вклад уменьшается вдвое (рис. 3.9,6).

Частотная зависимость (рис. 3.9,г) имеет максимум в области дисперсии диэлектрической проницаемости . Исследуя выражение (3.58) на экстремум, получим

; (3.59)

(3.60)

Рис.3.9. Частотные зависимости (а), (б), (в) и (г) диэлектрика с релаксационной поляризацией [12]

Удельная мощность диэлектрических потерь при тепловой поляризации

(3.61)

Из этой формулы следует, что на низких частотах, когда релаксационная поляризация успевает устанавливаться во времени, диэлектрические потери не проявляются. При , на высоких частотах, когда 1 потери достигают максимального значения (рис. 3.9,в).

Таким образом, хотя релаксационная поляризация запаздывает и уже не дает вклада в величину диэлектрической проницаемости, удельная мощность потерь релаксационных процессов на высоких частотах остается максимальной. Дело в том, что на таких частотах релаксаторы не успевают следить за полем, но участвуют в активном токе и трансформируют соответствующую часть энергии электрического поля в энергию хаотического движения частиц.