VI.Закрепление нового материала.

Разбор типичных заданий ЕГЭ по теме «Двоичная система счисления»

Обучающимся выдаётся Памятка (Приложение 1).

№ 1. Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 519?

Пояснение.

Переведём число 519 в двоичную систему:

519₁₀ = 2⁹ + 2² + 2¹ + 2⁰ = 1000000111₂.

№ 2. Переведите в десятичную систему двоичное число 101001₂.

Пояснение.

Имеем:

101001₂ = 1×2⁵ + 0×2⁴ + 1×2³ + 0× 2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 32 + 8 + 1 = 41.

 Ответ: 41.

№ 3. Сколько единиц в двоичной записи шестнадцатеричного числа 12F0₁₆?

Пояснение.

Пе­ре­ве­дем число 12F0₁₆ в дво­ич­ную си­сте­му счис­ле­ния: 12F0₁₆ = 1001011110000₂.

Под­счи­та­ем ко­ли­че­ство еди­ниц: их 6.

 Ответ: 6.

№ 4. Пе­ре­ве­ди­те число В0С₁₆ в дво­ич­ную си­сте­му счис­ле­ния.

По­яс­не­ние.

Для ре­ше­ния этого за­да­ния можно пойти одним из двух путей: пе­ре­ве­сти число В0С из шест­на­дца­те­рич­ной в де­ся­тич­ную, а потом в дво­ич­ную, или за­ме­нить каж­дый раз­ряд шест­на­дца­те­рич­ной си­сте­мы на че­ты­ре бита дво­ич­ной

(В₁₆ = 1011₂, 0₁₆ = 0000₂, С₁₆ = 1100₂).

№ 5. Пе­ре­ве­ди­те в вось­ме­рич­ную си­сте­му счис­ле­ния дво­ич­ное число 110110.

По­яс­не­ние.

Пе­ре­ве­дем число в де­ся­тич­ную си­сте­му счис­ле­ния:

 110110 = 1 · 2⁵ + 1 · 2⁴ + 1 · 2² + 1 · 2¹ = 32 + 16 + 4 + 2 = 54.

 Де­ся­тич­ное число 54 в вось­ме­рич­ной си­сте­ме счис­ле­ния за­пи­сы­ва­ет­ся как 66.

№ 6. Даны 4 целых числа, записанных в двоичной системе:

 10001011; 10111000; 10011011; 10110100. Сколько среди них чисел, больших, чем 9A₁₆?

Пояснение.

Запишем число 9A₁₆ в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния, а затем пе­ре­ведём его в дво­ич­ную: 9A₁₆ = 9 · 16 + 10 = 154₁₀ = 10011010₂. Те­перь срав­ним число 9A₁₆ = 10011010₂ с пред­ло­жен­ны­ми чис­ла­ми:

1000 1011 < 1001 1010,

1011 1000 > 1001 1010,

1001 1011 > 1001 1010,

1011 0100 > 1001 1010.

Ответ: 3 числа

№ 7. Ука­жи­те целое число от 8 до 11, дво­ич­ная за­пись ко­то­ро­го со­дер­жит ровно две еди­ни­цы. Если таких чисел не­сколь­ко, ука­жи­те наи­боль­шее из них.

По­яс­не­ние.

Пред­ста­вим все числа в дво­ич­ной си­сте­ме счис­ле­ния:

 8₁₀ = 1000₂,

9₁₀ = 1001₂,

10₁₀ = 1010₂,

11₁₀ = 1011₂.

 Из чисел 9 и 10 вы­би­ра­ем число 10, по­сколь­ку оно яв­ля­ет­ся наи­боль­шим.

Ответ: 10

№ 8. Даны 4 целых числа, за­пи­сан­ных в раз­лич­ных си­сте­мах счис­ле­ния: 31₁₀, F1₁₆, 261₈, 711₈. Сколь­ко среди них чисел, дво­ич­ная за­пись ко­то­рых со­дер­жит ровно 5 еди­ниц?

По­яс­не­ние.

Пред­ста­вим все числа в дво­ич­ной си­сте­ме счис­ле­ния.

31₁₀ = 1 1111₂.

F1₁₆ = 1111 0001₂.

261₈ = 1011 0001₂.

711₈ = 1 1100 1001₂.

 Среди дан­ных чисел три имеют в за­пи­си ровно 5 еди­ниц.

№ 9. Сколько единиц в двоичной записи значения выражения 4²⁰¹⁵ – 2²⁰¹⁴ + 3?

Решение: Число 4²⁰¹⁵ в двоичной записи имеет единицу и 4030 нулей, число – 2²⁰¹⁴ - единицу и 2014 нулей, тогда по правилам вычитания число 4²⁰¹⁵ – 2²⁰¹⁴ будет содержать 4030-2014=2016 единиц и 2014 нулей. Теперь прибавим 3, которое в двоичной системе счисления имеет вид 11₂, и получим увеличение количества единиц, т.е. в числе будет 2018 единиц и 2012 нулей.

Другие системы счисления

№ 1. В системе счисления с некоторым основанием число 12₁₀ записывается в виде 110. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание n. Исходя из правил записи чисел в позиционных системах счисления 110_n = n² +n¹ +0. Составим уравнение:

n² +n =12. n₁ = 3, n₂ = -4 – не удовлетворяет условию (основанием системы счисления является натуральное число, большее единицы). Проверим полученный ответ: 3² + 3 =12.

Ответ: 3

№ 2. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 17₁₀ оканчивается на 2.

Решение:

Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от деления числа на основание системы счисления. 17 – 2 = 15. Найдём делители числа 15. Это – 3, 5, 15. Запишем число 17 в этих системах счисления.

17₁₀ = 122₃ = 32₅ =12₁₅.

Ответ: 3, 5, 15