Формы записи чисел в различных системах счисления
Свернутая («обычная») форма записи числа – привычная запись числа как последовательность цифр стоящих на своих разрядах.
Развёрнутая форма записи числа – запись числа в виде суммы произведений его цифр на основании системы счисления в степени, равной значению разряда той или иной цифры числа (для целого числа нумерация разрядов ведётся с нуля справа на лево; для дробного числа нумерация разрядов ведётся от десятичной запятой влево по возрастанию, а вправо – по убыванию, при этом разряду единиц присваивается нулевой номер).
Форма (схема) Горнера – преобразованная запись развернутой формы, при которой за счет использования скобок удается избавиться от возведения основания счисления в степени.
Десятичная система счисления
В привычной для нас системе записи чисел – десятичной системе счисления – для записи чисел используют десять цифр: 0 – 9. В это системе любое целое неотрицательное число представляется с помощью степеней числа 10, которая является основанием это системы счисления.
Например: 2756 = 2000 + 700 + 50 + 6 = 2 ∙ 103 + 7 ∙ 102 + 5 ∙ 101 + 6 ∙ 100
Обратите внимание: количество цифр, которые используются для десятичного представления числа, на единицу больше чем показатель наибольшей степени 10, который содержится в числе.
Итак, любое целое неотрицательное число в десятичной системе счисления подается в виде:
,
где каждый из коэффициентов an , an-1 … a0, есть одной из цифр от 0 до 9, которые называются десятичными цифрами, причем an не равно 0.
Двоичная система счисления
Двоичная система счисления – это система, в которой для записи чисел используется две цифры 0 и 1. Основание двоичной системы счисления является число 2.
Для записи числа в двоичной системе используется представление этого числа с помощью степеней числа два. Двоичную цифру называют битом. Двоичная система счисления является основной системой представления информации в памяти компьютера.
Приведем таблицу значений степени числа 2:
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
2n |
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
128 |
256 |
512 |
1024 |
Воспользовавшись этой таблицей, можно записать:
Десятичная система счисления |
Развернутая форма числа |
Двоичная система счисления |
0 |
0∙20 |
0 |
1 |
1∙20 |
1 |
2 |
1∙21 +0∙20 |
10 |
5 |
1∙22 + 0∙21 + 1∙20 |
101 |
7 |
1∙22 + 1∙21 + 1∙20 |
111 |
25 |
1∙24 + 1∙23 +0∙22 + 0∙21 + 1∙20 |
11001 |
Двоичный код числа – запись этого числа в двоичной системе счисления, в котором коэффициенты должны принимать только одно из двух значений: 0 или 1.
Восьмеричная система счисления
Восьмеричная система счисления - это система счисления, в которой основанием числа является – 8.
Любое число представляется с помощью степеней числа 8 в виде:
.
Восьмеричной записью целого положительного числа является последовательность коэффициентов an , an-1 … a0.
В роли коэффициентов для записи числа в восьмеричной системе используются такие восемь символов: 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7.
Например:
1810 = 1610 + 210 = 1 ∙161 +2 ∙160 =1216
Десятичная система счисления |
Развернутая форма числа |
Восьмеричная система счисления |
0 |
0∙80 |
0 |
1 |
1∙80 |
1 |
2 |
2∙80 |
2 |
18 |
2 ∙81 + 2 ∙80 |
22 |
65 |
1∙82 + 0∙81 + 1∙80 |
101 |