2. Загальний аналіз

Основою дослідження зміни показників у їх динаміці є теорія випадкових процесів. Специфічною особливістю застосування теорії випадкових процесів є вивчення зміни величин у часі і виділення закономірностей зміни цих випадкових величин залежно від невипадкового параметра – часу. Для використання математичного апарата виділяють наступні формалізовані описи:

1) реалізацією випадкового процесу називається послідовність n результатів спостережень y₁, y₂, …, y_n деякого економічного параметра в моменти часу t₁, t₂, …, t_n;

2) послідовність спостережень , отримана в рівновіддалені проміжки часу, називається часовим або динамічним рядом;

3) імовірнісна модель часового ряду називається випадковим процесом з дискретним часом.

При вивченні часового ряду, як показує практика, можна виділити деяку усереднену або систематичну складову і випадкові відхилення від неї, тобто часовий ряд може бути представлений як , де f(t) – деяка невипадкова величина, що залежить від часу, – випадкові відхилення. f(t) характеризує детерміновану частину тимчасового ряду і називається трендом. Тренд відбиває вплив постійний діючих факторів. відбиває вплив випадкових факторів і називається випадковою компонентою тимчасового ряду.

Використання методів теорії випадкових процесів для аналізу економічних часових рядів значною мірою пов’язане із проблемою дослідження . Це пояснюється тим, що при короткостроковому і середньостроковому плануванні результати прогнозів пов’язані з аналізом і дослідженням випадкової компоненти . Довгострокове планування засноване на дослідженні тренда.

Для дослідження випадкової компоненти порівнюють її значення з іншими випадковими величинами, для яких відомі їхні характеристики. Порівнюють випадкові величини й . Їхнє порівняння здійснюють за деякими вибірками , . Обчислюють кореляційні функції . Порівнюють отримані значення множини коефіцієнтів кореляції для вибірок ε і η. Ці коефіцієнти кореляції можуть бути зрушені в часі. Зрушення, якому відповідає найбільший коефіцієнт кореляції, називається часовим лагом.

Для аналізу випадкових процесів використовують дослідження взаємозв’язків випадкових величин усередині вибірки. Якщо існує такий взаємозв’язок, то він називається автокореляцією, і при існуванні такого взаємозв’язку послідовність піддають спеціальному аналізу і обробці. Як правило, випадкові компоненти порівнюють зі стаціонарним випадковим процесом. Стаціонарний процес має імовірнісні властивості, які змінюються із часом. Цей процес протікає однорідно і має вигляд осцилюючої функції. Таке порівняння дозволяє виділити основні характеристики і забезпечити точність прогнозу. На практиці при аналізі часових рядів для визначення змін у часі використовують кількісні і узагальнюючі показники.

3. Визначення основних тенденцій

Найважливішою задачею аналізу часових рядів є визначення основної закономірності зміни досліджуваного явища в часі. Для того, щоб виявити основну тенденцію зміни показників, роблять згладжування часового ряду. Згладжування дозволяє виявити основну тенденцію і виділити фактори, що впливають на формування цієї тенденції. Лінія тренда, яка відбиває вплив постійно діючих факторів, має пізнавальне значення тільки в тому випадку, якщо виявленими є форми впливу і закономірності впливу.

Виділяють 3 способи згладжування часових рядів:

1) метод найменших квадратів;

2) метод ковзної середньої;

3) математичне прогнозування.

Найпоширенішим є метод найменших квадратів. Суть – у відшуканні таких параметрів, при яких сума квадратів відхилень розрахункових значень рівнів (обчислених по деякій формулі) від їхніх фактичних значень була б мінімальною.

При цьому метод найменших квадратів розглядають як деякий обчислювальний процес для одержання оцінки детермінованої компоненти. У якості детермінованої компоненти, як правило, вибирають функції наступного виду:

(1)

(2)

Параметри представлених функцій мають якісний економічний зміст і інтерпретуються в такий спосіб:

– поліном першого ступеня, який характеризує постійний приріст, рівний a₁ одиницям при початковому рівні a₀.

– поліном другого ступеня, відбиває постійний темп зміни абсолютного приросту, рівний 2a₂ одиницям.

– характеризує постійний відносний ріст, дорівнює одиницям.

– характеризує постійний відносний приріст, дорівнює одиницям.

Оцінки параметрів a₁, a₂, …, a_n у моделі (1) знаходять шляхом застосування безпосереднього методу найменших квадратів. У моделі (2) вихідні дані логарифмують, а потім використовують метод найменших квадратів.

Необхідно враховувати, що для визначення тренда в економічних часових рядах не можна використовувати поліноми високих ступенів, тому що буде знайдена не загальна закономірність зміни, а функція, яка апроксимує випадкові відхилення.

Згладжування за допомогою ковзних середніх засноване на тому, що в середніх величинах взаємопогашаються випадкові відхилення. Це відбувається внаслідок того, що первісні рівні часового ряду заміняються середніми величинами. Кількість рівнів при цьому задається деяким числом. Отримане середнє значення відноситься до середини обраного інтервалу. Потім період зрушується на одне спостереження і повторюються розрахунки.

При згладжуванні часового ряду ковзними середніми в розрахунках беруть участь усі рівні ряду. Чим ширше інтервал ковзання, тим більш плавним виходить тренд. Інтервал ковзання залежить від мети дослідження. Згладжування за допомогою ковзною середньої дозволяє наочно визначити вид тренда, але при цьому не враховуються початкове і кінцеве значення ряду. Цей метод не дозволяє формально описати рівняння тренда.

На практиці існують обмеження на коефіцієнти поліномів, що описують рівняння тренда, тому використовувати метод найменших квадратів не можна. Використовують методи математичного прогнозування, тобто будується така функція f(t), для якої виконується умова досягнення мінімуму максимального по абсолютній величині відхилення обраної функції від практичних значень y_i, тобто (1).

Ціль такого методу – визначення такого полінома f(t), для якого виконується цільова функція (1) і обмеження типу . (н – нижня межа, в – верхня межа).

При використанні методу найменших квадратів у випадку, якщо трендом є пряма лінія ( ), a₀ і a₁ знаходять як:

; .

9