Приложение

ЗАДАЧИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПО ТЕМЕ ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Всюду – найти все экстремумы функций! И только их: остальные, в том числе геометрические задания, не делать

БЛОК 1.

Безусловные экстремумы (БУ)

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. 

9. 

10. ,

11. ,

12. .

13. 

Условные экстремумы с ограничениями равенствами (УОР)

1)   .

2)   .

3)   .

4.     .

5.

6.

7.

БЛОК 2.

Равенства, кроме №3.

Условные экстремумы с ограничениями неравенствами (УОН)

1. 

2. 

3. 

БЛОК 3. (Равенства – № 1, . Не надо № 5-7, 10, 18-21)

БЛОК 4.

1) f (x) = −2x² − 3x² + x₁ − 6 −→ max_X ,

1

X = {x | x² + x₁ − 3 ≤ 0, 2x₁ + x₂ − 5 ≤ 0, x₂ ≥ 0},

x¹ = (1, 1), x² = (2, 1), x³ = (1/4, 0), x⁴ = (0, 0);

1

2) f (x) = x² + 3x₁ −→ min_X ,

X = {x | x² + x² − 2x₁ + 8x₂ + 16 ≤ 0, x₁ − x₂ ≤ 5},

x¹ = (1, −4), x² = (0, −4), x³ = (2, −4);

3) f (x) = 7x² + 2x² − x₁x₂ + x₁ − x₂ −→ min_X ,

X = {x | x₁ + x₂ ≤ 2, x₁ − 3x₂ ≤ 4, −2x₁ + x₂ ≤ −3},

x¹ = (5/2, −1/2), x² = (1, −1), x³ = (2, 0);

4) f (x) = x²/2 + x² − 5x₁ + x₂ −→ min_X ,

X = {x | x₁ + x₂ − 2x₃ ≤ 3, 2x₁ − x₂ − 3x₃ ≥ −11, x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, x₃ ≥ 0},

x¹ = (1, 0, 2), x² = (0, 0, −1), x³ = (1, 3, 0), x⁴ = (2, 1, 1), x⁵ = (5, 0, 1);

1

5) f (x) = e^x1+x2 + x² − 2x₂ −→ min_X , X = {x | x₂ ≤ ln x₁, x₁ ≥ 1, x₂ ≥ 0}, x¹ = (2, ln 2), x² = (e, 0), x³ = (1, 0);

3

6) f (x) = e^x1+x2 + x² + 2x₁ + 2x₂ −→ min_X ,

X = {x | x² + x² + x² ≤ 18, 2x₁ + x₂ − x₃ + 3 ≤ 0},

x¹ = (−3, 3, 0), x² = (1, −1, 4), x³ = (−3, −3, 0), x⁴ = (0, 0, 3);

7) f (x) = −5x² − 6x² − x² + 8x₁x₂ + x₁ −→ max_X ,

1

X = {x | x² − x₂ + x₃ ≤ 5, x₁ + 5x₂ ≤ 8, x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0},

x¹ = (0, 0, 0), x² = (1, 0, 4), x³ = (3/14, 1/7, 0), x⁴ = (4, 0, −11);

s) f (x) = −x² − 2x² + x₁x₂ − 26 −→ max_X ,

1

X = {x | x² ≤ 25, x₁ + 2x₂ − 5 ≤ 0, x₂ ≥ 0},

x¹ = (0, 0), x² = (−1, 2), x³ = (0, −6), x⁴ = (3, 0);

9) f (x) = 10x² + 5x² − x₁ + 2x₂ − 10 −→ min_X ,

1

X = {x | 2x² + x₂ ≤ 4, x₁ + x₂ ≤ 8, x₁ ≥ 0},

x¹ = (0, 0), x² = (1, 1), x³ = (0, −1);

1n) f (x) = 4x² + 3x² + 4x₁x₂ − x₁ + 6x₂ − 5 −→ min_X ,

X = {x | − x² − x² ≥ −3, 3x² + x₂ ≤ 4, x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0},

x¹ = (0, 0), x² = (5, 0), x³ = (1, −1), x⁴ = (1, 1);

11) f (x) = x² + 5/2x² − x₁x₂ −→ min_X ,

X = {x | x² − 4x₁ − x₂ ≤ −5, −x² + 6x₁ − x₂ ≥ 7},

x¹ = (2, 1), x² = (3, 2).

БЛОК 5. (№ 13-15 – без ограничений, №1-12 – неравенства)

1) f (x) = x₁x₂ − x² − 2x² + x₁,

X = {x | x₁ ∈ [0, 1], x₂ ∈ [0, 1]};

2) f (x) = x³ − 4x² + 2x₁x₂ − x²,

X = {x | |x₁| ≤ 5, |x₂| ≤ 1};

3) f (x) = x³ + x³ − 3x₁x₂,

X = {x | x₁ ∈ [0, 2], x₂ ∈ [−1, 2]};

4) f (x) = (x₁ − 5)² + (x₂ − 7)²,

X = {x | x₁ + 2x₂ ≤ 12, x₁ + x₂ ≤ 9, x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0};

5) f (x) = (x₁ − 3)² + (x₂ − 5)²,

X = {x | x² + x² ≤ 10, 2x₁ + 2x₂ = 5};

6) f (x) = x₁(π − x₁) sin x₂ + x₂ cos x₁, X = {x | x₁ ∈ [0, π], x₂ ≥ 0};

7) f (x) = x₁ + x₂ + x₃,

X = {x | x² + x² ≤ x₃, x₃ ≤ 1};

s) f (x) = 2x₁x₂ + x₃,

X = {x | x² + x² = 1, 0 ≤ x₃ ≤ 2x₁ + 1};

9) f (x) = x² − x²,

X = {x | x² + x² ≤ 16};

10) f (x) = x² + x² − 12x₁ + 16x₂,

X = {x | x² + x² ≤ 25};

11) f (x) = arctg x₁ − ln x₂,

X = {x | x² + x² ≤ 4, x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 1};

12) f (x) = x₁ + x₂ − x₃,

X = {x | x₁x₂x₃ ≤ 1, −x₁ + x₂ − x₃ ≤ 0};

13) f (x) = x² + x₁x₂ + x² + 3|x₁ + x₂ + 2|,

X = R² = E₂;

14) f (x) = x² + x² + 2α|x₁ + x₂ − 1|, α > 0,

X = R² = E₂;

15) f (x) = x² + x² + 2 max{x₁, x₂},

X = R² = E₂.

БЛОК 6.

Ограничения равенства.

Ограничения неравенства.