8. Минимаксная трактовка задачи на условный экстремум

Интенсивное развитие нелинейного программирования в значительной степени вызвано доказанной в 1951 г. фундаментальной теоремой Куна и Таккера о седловой точке в задачах выпуклого программирования. Эта теорема распространяет результаты о минимаксе, полученные в предыдущем параграфе применительно к классическому варианту для задач на условный экстремум, на случай задания ограничений в виде неравенств. Особый интерес представляет эта теорема для недифференцируемых функций, о чем вообще не говорилось в классических методах.

Вначале получим условия существования седловой точки у непрерывной функции двух векторных переменных. Затем покажем, что эти условия удовлетворяются для оптимальной точки задачи нелинейного программирования.

Условия существования седловой точки. По определению функция Φ (х, λ) двух векторных переменных х = || x₁,...,x_n || и λ = || λ₁,...,λ_n|| имеет в точке (х_опт, λ_опт) седловую точку, если выполняются соотношения

. (3.8.1)

для всех х и λ из ε-окрестности (х_опт, λ_опт). Будем считать, что х≥0 и λ≥0. Геометрически соотношение (3.8.1) интерпретируется с помощью рисунков 3.8.1 и 3.8.2. При этом допускается и вырожденный случай, когда в левой или правой части стоит знак равенства.

Рисунок 3.8.1 - Седловая точка

Рисунок 3.8.2 - Пояснение к седловой точке функции двух переменных

Докажем, что необходимыми и достаточными условиями существования седловой точки для функции двух векторных переменных являются соотношения

(3.8.2-7)

т.е. требуется доказать, что из условий (3.8.1) следуют условию (3.8.2)-(3.8.7) (необходимость) и из условий (3.8.2)-(3.8.7) следует условие (3.8.1) (достаточность). Действительно, если при x_j≥0 предположить соотношения, обратные (3.8.2) и (3.8.3), т. е.

(3.8.8)

то это означало бы, что точка х_опт при λ = λ_опт не является максимумом, так как для внутренних точек, где x_j > 0, в точке максимума должна равняться нулю первая производная

(3.8.9)

а на границе области, где x_j = 0, первая производная для случая максимума должна быть не положительна, т. е.

(3.8.10)

При этом подразумевается, что для внутренних точек, где x_j>0, соотношение (3.8.2) носит характер строгого равенства, а для граничных точек, где x_j = 0, - характер неравенства. Соотношение (3.8.3) выполняется для внутренних точек за счет равенства нулю производной, а для граничных точек - за счет равенства нулю координаты.

Аналогично доказывается необходимость условий (3.8.4) и (3.8.5) при 0, т. е. они следуют из условия минимизации функции Φ (х, λ) относительно λ. А именно, так как функция Φ (х, λ) при фиксированном х_опт имеет минимум по λ, в точке λ = λ_опт, то для внутренних точек λ > 0 dΦ/dλ_i = 0, а для граничных λ = 0 dΦ/dλ_i ≥ 0.

Другой способ доказательства справедливости соотношений (3.8.4) и (3.8.5) можно получить, если учесть, что при фиксированном х эта функция линейная относительно λ_i. Действительно, если учесть, что

(3.8.11)

то соотношение (3.8.4) является просто другой записью исходных ограничений

φ_i(x)≤b_i

(3.8.12)

так как

(3.8.13)

Как было показано ранее [формулы (3.8…..) и (3.8…..)], если в окрестности точки экстремума b_i - φ_i(х)≥0 и в точке экстремума b_i - φ_i(х_опт) > 0, то соответствующие λ_iопт = 0. Для тех индексов i, при которых в точке экстремума (и малой окрестности ее) b_i - φ_i(х) = 0, Φ (х, λ) = F (х), λ_iопт ≠0 (а именно λ_i>0). Поэтому всегда или λ_i= 0, или dΦ/dλ_i = 0 и соотношение (3.8…..) выполняется.

Тем самым доказано, что из условий существования седловой точки (3.8…..) следуют соотношения (3.8.2) - (3.8.7). Чтобы доказать их достаточность для существования седловой точки, предположим вогнутость (для максимума) функции Φ(х, λ) по х и, разложив ее в ряд Тейлора, получим:

(3.8.14)

В формуле (3.8.14) под производной dΦ(x,λ)/dx, понимается градиент функции Φ по х, т. е.

(3.8.15)

Очевидно, что для вогнутой функции в соответствии с рисунком 3.8.1 значение ординаты, касательной вблизи точки вогнутости (х_опт, λ_опт), не менее значения самой функции. Кроме того, если сложить все равенства (3.8.3) по j, получим:

(3.8.16)

В соответствии с этой формулой в соотношении (3.8.7) справедлив знак равенства.

Рисунок 3.8.2 - Пояснение к разложению вогнутой функции в ряд Тейлора

И, наконец, если сложить по j все соотношения (3.8.3), получим:

(3.8.17)

Поэтому в соотношении (3.8.7) при х≥0 справедлив последний знак неравенства. Тем самым доказана левая часть соотношения (3.8.1), т.е. условие максимума функции Φ(х, λ) по х в точке (х_опт, λ_опт). Доказательство правой части этой формулы может выполняться двумя путями. Для любой выпуклой по к функции Φ (х,λ) аналогично соотношению (3.8.7) можно написать:

(3.8.18)

или, учитывая линейность Φ (х, λ) по λ,

(3.8.20)

(и не предполагая выпуклости ее по λ), получаем)

(3.8.21)

Первый знак равенства справедлив в силу линейности функции L(х_опт,λ) относительно λ. Второй знак равенства справедлив или в силу соотношений (17-24), если их просуммировать по i, или в силу уже применявшихся рассуждений о том, что или dΦ(х, λ)/dλ_i = 0, или λ_iопт = 0. Тем самым доказана правая часть соотношения (17-19) и достаточность условий (17-20)-(17-25) для существования седловой точки.

Если имеется в виду седловая точка с минимумом по х и максимумом по λ, то соотношения (17-19) - (17-25) перепишутся в виде

(3.8.22)-(3.8.28)