45. Временное и стационарное уравнения Шредингера.

Состояние частицы в квантовой механике определяется волновой функции Ψ(x,y,z,t), зависящей от координат и времени. Для отыскания явного вида волновой функции необходимо определить уравнение, аналогичное второму закону Ньютона в классической механике.

Такое уравнение получено Э. Шредингером в 1926г. на основе опытных фактов, постулируется и является выражением закона сохранения энергии для микрочастиц. Справедливость уравнения Шредингера доказывают опытные данные в согласии с теоретическими расчетами. В общем случае уравнение Шредингера имеет вид(14.1):

Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоро- стью,т.е.соскоростью v<<с. Оно до- полняется условиями, накладываемы- ми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, одно- значной и непрерывной ;

2) производные

должны быть непрерывны;

3) функция |Ф|/в квадрате/ должна быть интегрируема; это усло- вие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей.

Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимость Ф от времени, иными словами, найти урав- нение Шредингера для стационарных состояний — состояний с фиксирован- ными значениями энергии. Это возмож-

но, если силовое поле, в котором час- тица движется, стационарно, т. е. функ- ция U= U(x, у, z) не зависит явно от вре- мени и имеет смысл потенциальной энергии.

В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая — только времени, причем зависимость от времени выражается множителем

, так что

(217.4),

где Е — полная энергия частицы, посто- янная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим

откуда после деления на общий множитель

и соответствующих преобразовании придем к уравнению, определяющему функцию Ψ:

Уравнение (217.5) называется урав- нением Шредингера для стационар- ных состояний. В это уравнение в ка- честве параметра входит полная энер- гия Е частицы. В теории дифференци- альных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчислен- ное множество решений, из которых по- средством наложения граничных усло- вий отбирают решения, имеющие фи- зический смысл.

Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регуляр- ности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, од- нозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными.

Таким образом, реальный физичес- кий смысл имеют только такие реше- ния, которые выражаются регулярны- ми функциями Ψ. Но регулярные реше- ния имеют место не при любых значе- ниях параметра Е, а лишь при опреде- ленном их наборе, характерном для дан- ной задачи. Эти значения энергии на- зываются собственными. Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются соб- ственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как не- прерывный, так и дискретный ряд. В пер- вом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором — о дис- кретном спектре.