23. Потенциал электростатического поля. Связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля.
Поскольку работа консервативных сил
равна убыли потенциальной энергии, то
на основании формулы (13.1) выражение для
потенциальной энергии
заряда q2 в поле заряда q1
можно записать в виде
.
(13.4)
Как видно из выражения (13.4), Wp определяется с точностью до постоянной величины. В данном случае для электрического поля точечного заряда принято выбирать const так, чтобы на бесконечно большом расстоянии между зарядами их взаимная потенциальная энергия обращалась в нуль: r → ∞, Wp = 0 . Следовательно,
.
(13.5)
Из формулы (13.5) следует, что отношение W/q2 для данной точки поля не зависит от величины заряда q2. Поэтому это отношение может служить энергетической характеристикой электростатического поля, которая называется потенциалом поля, и равна отношению потенциальной энергии пробного заряда, помещенного в данную точку поля, к величине этого заряда
.
(13.6)
Из выражений (13.5) и (13.6) следует, что потенциал поля точечного заряда q равен
[В].
(13.7)
Работа по перемещению заряда в электростатическом поле равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точке перемещения
.
(13.8)
Если поле создаётся системой зарядов q1, q2, …qn, то для потенциальной энергии заряда qпр в поле системы зарядов получим
.
(13.9)
С учетом (13.7), потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности
(13.10)
Если заряды, образующие систему, распределены по объёму с объёмной плотностью , то выражение (14.10) можно записать в следующем виде
,
(13.11)
причём интегрирование производится по всему пространству, где содержатся заряды. Если заряды расположены на какой-либо поверхности S, то
,
(13.12)
где – поверхностная плотность заряда, dS – элемент поверхности S.
13.3 Связь между потенциалом и напряжённостью электрического поля .
Дифференциальную формулу связи
и φ, справедливую для малой окрестности
какой-либо точки поля, можно вывести из
выражений для элементарной работы
.
Откуда
,
(13.13)
где El
– проекция вектора
на направление
в пространстве.
В более общем векторном виде вектор равен
,
где
– единичные векторы, направленные
соответственно вдоль осей х, у, z
Последнее уравнение можно записать в
виде
или
, (13.14)
т.е. напряжённость поля равна градиенту потенциала и направлена в сторону убывания потенциала.
(этого нет в вопросе, но если кому надо, на всякий случай добавил)