Кратные интегралы

Кратным называется интеграл функции многих переменных, берущийся по нескольким переменным. Для того чтобы вычислить кратный интеграл:

1. Введите, как обычно, оператор интегрирования.

2. В соответствующих местозаполнителях введите имя первой переменной интегрирования и пределы интегрирования по этой переменной.

3. На месте ввода подынтегральной функции введите ещё один оператор интегрирования (рис. 6.6).

4. Точно так же введите вторую переменную, пределы интегрирования и подынтегральную функцию (если интеграл двукратный) или следующий оператор интегрирования (если более чем двукратный) и т. д., пока выражение с многократным интегралом не будет введено окончательно.

Рис. 6.6. Ввод нескольких операторов интегрирования для расчёта кратного интеграла

Пример символьного и численного расчёта двукратного интеграла в бесконечных пределах приведён в листинге 6.1. Обратите внимание, что символьный процессор "угадывает" точное значение интеграла л, а вычислительный определяет его приближённо и выдаёт в виде числа 3.142.

Листинг 6.1. Символьное и численное вычисления кратного интеграла:

Внимание!

Аккуратнее вводите в редакторе Mathcad кратные интегралы, если они имеют различные пределы интегрирования по разным переменным. Не перепутайте пределы, относящиеся к разным переменным. Если вы имеете дело с такого рода задачами, обязательно разберитесь с листингом 6.2, в котором символьный процессор вычисляет двукратный интеграл. В первой строке пределы интегрирования [а,b] относятся к переменной у, а во второй строке – к переменной X.

Листинг 6.2. Символьное вычисление кратных интегралов:

Указания к выполнению лабораторной работы:

Задание 1: Вычислить двойной интеграл по указанной области G.

Порядок выполнения задания 1

1. Определите подынтегральную функцию как функцию переменных x и y.

2. Определите кривые, задающие область интегрирования.

3. Постройте на одном графике линии, ограничивающие область интегрирования.

4. Найдите границы области интегрирования и точки пересечения графиков данных функций.

5. Вычислите аналитически искомый интеграл.

6. Вычислите двойной интеграл, изменяя порядок интегрирования. Пример 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами и вычислить двойной интеграл , если область интегрирования G ограничена линиями у=х, , х=2.

Образец выполнения задания в Mathcad

Найдём точки пересечения графиков функций. Для этого надо решить систему уравнений

Система имеет два решения, но исходя из графика видно, что подходит точка с координатами (1,1). а – x-вая координата точки. Ещё две точки имеют координаты (2, y₁(2)), (2, y₂(2)). Найдём другое выражение для границ области интегрирования - это функции x₂(y), x₃(y).

Вычислим двойной интеграл, переходя к повторному двумя способами.

Рис 6.7 – Решение задания 1.

Таблица 6.1

Варианты задания1

№№	f(x,y)	Уравнения линий, ограничивающих область G
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Задание 2: Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

Порядок выполнения задания 2

1. Введите полярные координаты.

2. Определите в полярных координатах уравнение кривых, ограничивающих данную область.

3. Изобразите на графике область интегрирования.

4. Вычислите площадь полученной фигуры, используя полярные координаты.

Пример 2. Переходя к полярным координатам, вычислить интеграл , где область D ограничена окружностью x² + y² = 2x.

Образец выполнения задания в Mathcad:

Якобиан перехода к полярным координатам равен . Изобразим область интегрирования в полярных координатах и вычислим интеграл, используя замену переменных.

Рис 6.8 – Решение задания 2.

Таблица 6.2

Варианты задания 2

Вариант 1-12. Рассмотрите двойной интеграл где D: y = x + m,

y = x + n, y = p x + r, y = p x + t.

Таблица 6. 3

N	m	n	p	t	r	N	m	n	p	t	r
1.	2	-4	-1/4	2	6	7.	7	-9	-1/9	13/9	11
2.	3	-5	-1/5	9/5	7	8.	8	-10	-1/10	7/5	1
3.	4	-6	-1/6	5/3	8	9.	-1	0	-1	5	4
4.	5	-7	-1/7	11/7	9	10.	9	-11	-1/11	15/11	13
5.	0	-2	-1/2	3	5	11.	-2	-1	-2	4	3
6.	6	-8	-1/8	3/2	10	12.	-3	-2	-3	3	2

Вариант 12-24. Рассмотрите двойной интеграл D: y = x² - m,

y = x² - n, y = - x² + r, y = -x² + t, x>0.

Таблица 6. 4

N	m	n	t	r	N	m	n	t	r
13.	6	9	3	5	19.	8	11	5	7
14.	7	10	4	6	20.	9	12	6	8
15.	4	7	1	3	21.	10	13	7	9
16.	3	6	0	2	22.	11	14	8	10
17.	2	5	-1	1	23.	12	15	9	11
18.	1	4	-2	0	24.	14	17	11	13

Задание 3. Вычислить координаты центра тяжести пластины.

Порядок выполнения задания 2

1 Записать уравнения кривых, которые описывают область D пластины.

2 Найти точки их пересечения, для того чтобы использовать их в двукратном интегрировании.

3 Найти площадь S однородной пластинки через двойной интеграл.

3.1 Обратиться на панели Символы к функции simplify.

3.2 Ввести оператор интегрирования. В соответствующих местах заполнить имя первой переменной и границы интегрирования.

3.3 На месте ввода функции под интегралом ввести ещё один оператор интегрирования, границы интегрирования и подынтегральную функцию

4 Найти аналогично статические моменты M_x и M_y пластины относительно осей Ох и Оу как двойные интегралы

5 Определить координаты центра тяжести как отношение подынтегральной функции, которая определяет статические моменты пластины относительно осей Ох и Оу

Пример 3. Вычислить координаты центра тяжести пластины площадь которой ограничена линиями x=4y-y² и x+y=6.

Образец выполнения задания в Mathcad:

Найти координаты точек пересечения заданных линий, для чего необходимо решить систему уравнений (одной из встроенных функций MathCad, графически или решить систему уравнений).

x=4y-y²

x+y=6.

В результате будут получены точки пересечения А(4;2) и В(3;3).

Записать формулу для вычисления площади через кратный интеграл и использовать на панели Символы функцию simplify

.

Вычислить координаты центра тяжести пластины, которая ограничена кривыми y²=4x+4 и y²=-2x+4.

Площадь

Статические моменты относительно осей Ох и Оу

Координаты центра тяжести

Рис 6.9 – Решение задания 3

Таблица 6.5

Варианты задания 3

Номер варианта	Функции для вычисления площади фигуры		Функции для вычисления координат центра тяжести фигуры
1	2		3
1	x=y2-2y; x+y=0
2	y=2-x; y2=4x+4		y=x2; y=2x2; x=1;x=2
3	y2=4x-4; y2=2x (извне параболы)		y2=x; x2=y
4	3y2=25x; 5x2=9y		y=
5	y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0
6	y=4x-4x2; y=x2-5x
7	x=4-y2; x+2y-4=0
8	y2=4(x-1); x2+ y2=4 (извне параболы)
9	x=y2-2y; x+y=0
10	y=2-x; y2=4x+4
11	y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0
12	y=4x-4x2; y=x2-5x		y2=x; x2=y
13	x=4-y2; x+2y-4=0		y=
14	x=y2-2y; x+y=0
15	y=2-x; y2=4x+4		y=x2; y=2x2; x=1;x=2
16	y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0
17	y=4x-4x2; y=x2-5x
18	x=4-y2; x+2y-4=0
19	x=y2-2y; x+y=0
20	y=2-x; y2=4x+4
21	y2=4(x-1); x2+ y2=4 (извне параболы)
22	y=2-x; y2=4x+4		y=x2; y=2x2; x=1;x=2
	2			3
23	y2=4x-4; y2=2x (извне параболы)	y2=x; x2=y
24	x=y2-2y; x+y=0	y=
25	y=2-x; y2=4x+4
26	3y2=25x; 5x2=9y
27	x=y2-2y; x+y=0
28	y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0
29	y=4x-4x2; y=x2-5x	y=x2; y=2x2; x=1;x=2
30	x=4-y2; x+2y-4=0	y2=x; x2=y

Задание 4. Тело V задано ограничивающими его поверхностями, - плотность. Найти объем тела.

Порядок выполнения задания 4

1. Задайте пределы интегрирования (переходя к цилиндрическим или сферическим координатам, если это удобно).

2. Выразите уравнение поверхностей в сферических (цилиндрических) координатах.

3. Задайте якобиан преобразования.

4. Определите плотность тела.

5. Введите формулу для вычисления объёма тела и найдите его значение.

Пример выполнения задания:

Пример 4. Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить тройной интеграл , где область Т задана неравенствами

, ,

Образец выполнения задания в Mathcad:

Указание: Переходя в тройном интеграле к цилиндрическим (сферическим) координатам, целесообразно найти пределы интегрирования отдельно, по возможности используя инструменты Mathcad.

Пример 5. Найти объем части верхнего полушара x² +y² +z² = 9, заключённого между двумя конусами x² + y^{2 =} z², x² + y² = 3z² .

Образец выполнения задания в Mathcad:

Воспользуемся сферическими координатами и найдём уравнения поверхностей, ограничивающих заданное тело:

Зададим якобиан преобразования и вычислим объем по соответствующей формуле

Таблица 6.4

Варианты задания 4

N	V
1.	x2 + y2 =1, x2 + y2 = 2z, x = 0, y = 0, z = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0)	10x
2.	x2 + y2 + z2 =9, x2 + y2 = 4 (x2 + y2 ≤4), z = 0 (z ≥ 0)	2z
3.	x2 + y2 + z2 =1, x2 + y2 = 4, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y≥ 0, z≥ 0)
4.	x2 + y2 = z2, x2 + y2 = z, x = 0, y = 0 (x≥ 0, y ≥ 0)	32z
5.	x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 4z, x=0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y≥ 0)	5y
6.	x2 + y2 +z2 =9, x2 + y2 = 4 (x2 + y2 ≤ 4)
7.	16(x2 + y2) = z2, x2 + y2 =1, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)	5(x2 + y2)
8.	x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 4z2, x = 0, y = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z≥ 0)	10z
9.	x2 + y2 =1, x2 + y2 = z, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥ 0)	10y
10.	x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 =1 (x2 + y2 ≤1)	6z
11.	9(x2 + y2) = z2, x2 + y2 = 4, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)
12.	x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 =9z2 , x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)
13.	x2 + y2 =1, x2 + y2 = 6z, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥0)	90y
14.	x2 + y2 + z2 =9, x2 + y2 = 4 (x2 + y2 ≤ 4), y = 0 (y ≥ 0)
15.	25(x2 + y2) = z2, x2 + y2 = 4, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z ≥0)	2(x2 + y2)
16.	x2 + y2 = 4, x2 + y2 =8z, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥0)	5x
17.	x2 + y2 + z2 =16, x2 + y2 = 4 (x2 + y2 ≤ 4)	2
18.	36(x2 + y2) = z2, x2 + y2 =1, x = 0, z = 0 (x= 0, z = 0)
19.	x2 + y2 + z2 =1, x2 + y2 = 4z2, x = 0, y = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)	20z
20.	49(x2 + y2) =16z2, x2 + y2 = 4z2, x = 0, y = 0, z = 0 ( x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)	20z
21.	25(x2 + y2) = 4z2, 5(x2 + y2) = 2z, x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y 0)	28xz
22.	25(x2 + y2) = z2, 5(x2 + y2) = z, x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0)	14yz
23.	16(x2 + y2) = z2, x2 + y2 =1, x = 0, z = 0 (x ≥ 0, z ≥ 0)	20z
24.	x2 + y2 + z2 =16, x2 + y2 =4 (x2 + y2 ≤ 4)	5x

Задание 5. Покажите, что поле является потенциальным, и найдите потенциал этого поля.

Порядок выполнения задания 5

1. Введите координаты вектора

2. Используйте меню символьной математики для вычисления частных производных по всем переменным.

3. Задайте ротор векторного поля .

4. Вычислите ротор и убедитесь в том, что .

5. Определите выражение для вычисления потенциала, взяв в качестве начальной точки M₀(0,0,0).

6. Вычислите значение потенциала.

Пример 6. Показать, что поле является потенциальным, и найдите потенциал этого поля.

Образец выполнения задания в Mathcad:

Рис. 6.10 – Решение задания 5

Таблица 6.8

Варианты задания 5

Cодержание отчёта по работе

1. Исходное задание и цель работы.

2. Распечатка контрольного примера и результатов машинного расчета.

3. Аналитическое решение задания

4. Выводы по работе.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение интегральной суммы.

2. Дайте определение двойного интеграла.

3. Перечислите основные свойства двойного интеграла.

4. Как найти точки пересечения графиков функций?

5. Как перейти от двойного интеграла к повторному?

6. Что иллюстрирует изменение порядка интегрирования?

7. Какие геометрические характеристики можно вычислить с использованием интегралов?

8. Как вычислить центр тяжести через интегралы?

9. Дайте определение тройного интеграла.

10. Перечислите основные свойства тройного интеграла.

11. Привести формулы замены переменных в тройном интеграле.

12. Привести формулы перехода к цилиндрическим и сферическим координатам.

13. Чему равен якобиан перехода?

14. Перечислить приложения тройных интегралов в задачах геометрии и механики.

15. Дайте определение векторного поля, векторных линий.

16. Дайте определение циркуляции векторного поля. Методы вычисления циркуляции.

17. Дайте определение потока векторного поля.

18. Дайте определение дивергенции векторного поля. Как вычислить дивергенцию в декартовых координатах.

19. Дайте определение ротора векторного поля.

20. Формула Стокса.

21. Потенциальное поле, потенциал. Условие потенциальности поля.

Список литературы

1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1990.

2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.2. - М.: Высшая школа, 1981.

3. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. / Под ред.

Л.Д. Кудрявцева. - М.: Наука, 1986.

4. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров. М.: Финансы и статистика, 2000.

Mathcad 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95 / Пер. с англ. – М.: Финиль, 1996