Замена переменных в двойных интегралах

Пусть функции

и (1)

осуществляют взаимно-однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области Г плоскости Ouv на область G плоскости Oxy. Это означает, что в области G существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение и в области Г отличен от нуля якобиан преобразования, т.е.

, . (2)

Величины u и v можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области Г и в то же время как криволинейные координаты точек области G.

Если в двойном интеграле

.

произвести замену переменных по формулам (1), то областью интегрирования полученного интеграла будет уже область Г, которая при надлежащем выборе функций и может оказаться значительно проще области G, и имеет место формула

. (3)

Для вычисления интеграла по области Г применяются изложенные выше методы сведения двойного интеграла к повторному.

Наиболее употребительными из криволинейных координат являются полярные координаты

, ,

для которых

и формула (3) записывается в виде

, (4)

Если область интегрирования представляет собой криволинейный четырёхугольник, противоположные стороны которого принадлежат однопараметрическому семейству кривых y=f₁(x,a), и y=f₂(x,b), то два параметра (a,b) удобно выбрать в качестве новых криволинейных координат. Новые координаты u(x, y) и v(x, y) можно найти, решив систему уравнений y=f₁(x,u), y=f₂(x,v). При такой замене переменных исходная область интегрирования отобразится в прямоугольник со сторонами, параллельными новым координатным осям: u=a₁, u=a₂, v=b₁, v=b₂.

Приложения двойных интегралов

1. Площадь S плоской области G выражается, в зависимости от рассматриваемой системы координат, следующими интегралами:

(5)

в декартовых прямоугольных координатах,

(6)

в криволинейных координатах.

В частности, в полярных координатах , имеем

. (7)

2. Площадь поверхности Q. Если гладкая поверхность имеет уравнение z = f(x, y), то площадь той части поверхности, которая проектируется в область G плоскости Oxy, равна

. (8)

3. Объем V цилиндра. Рассмотрим цилиндр, ограниченный сверху непрерывной поверхностью z = f (x, y), снизу плоскостью z = 0 и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости Oxy область G. Объем этого тела выражается интегралом

. (9)

4. Масса М плоской пластины. Если пластина занимает область G плоскости Oxy и имеет переменную поверхностную плотность , то масса М пластинки выражается двойным интегралом

. (10)

5. Статические моменты M_x и M_y относительно осей Ox и Oy для плоской пластины равны

, . (11)

6. Координаты центра масс и пластинки определяются следующим образом:

, . (12)

7. Моменты инерции пластинки относительно осей Ox и Oy соответственно равны

, . (13)

а момент инерции пластинки относительно начала координат (полярный момент инерции) равен

. (14)

Если пластина однородна, то в формулах (10) - (14) следует положить .

Тройной интеграл и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах.

Тройным интегралом от непрерывной функции f (x, y, z) по ограниченной замкнутой пространственной области Т называется предел последовательности соответствующих интегральных сумм при стремлении к нулю наибольшего из диаметров d_k элементарных областей если этот предел не зависит ни от способа разбиения области Т на элементарные подобласти , ни от выбора промежуточных точек:

, (15)

где (x_k, y_k,z_k) . Через обозначается как элементарная область, так и её объем. Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению одного однократного и одного двойного интеграла или к вычислению трёх однократных интегралов. Если область интегрирования Т ограничена снизу поверхностью , сверху поверхностью ( ) и с боков прямым цилиндром, сечением которого плоскостью Oxy является область G, то тройной интеграл (15) вычисляется по формуле

. (16)

Заменяя двойной интеграл по области G через один из повторных, получаем

(17)