Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Лекции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

745.72 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

	k		k
	1			2
P	t	,	t			, ...,
	t		t		2
	1				2

	k		m
	m

	tm		i1

	k
		i		m, k1, k2 , ...,	km , ti t j Ø ,	i j
P			,	m, k1, k2 , ...,	km , ti t j Ø ,	i j
	ti

2) Стационарность – вероятность появления k точек не меняется при сдвиге.

Pk x, x t Pk t

3) Ординарность – появление кратных точек невозможно.

Pk 1 t o t lim Pk 1 t 0

t 0 t

4) * (Следует из 1, 2, 3). Вероятность появления одной точки на интервале

малой длины t
P t t o t , где	– константа пропорциональности (параметр
1
потока).

Утверждение.

Если выполнены условия (1), (2) и (3) и рассматриваемая случайная величина – количество событий (точек) на 0;T , то P0 a T .

Выберем n таким, чтобы на каждом интервале ∆t было не более одной точки,тогда

P t		T	T		T		1
			o			o
			o			o
1		n	n		n	n
		n	n		n	n
Тогда			Bi n, P .
			1
P 0
1	t T o 1 T
nP	t T o 1 T
1				n
P k Ck Pk t 1 P						t n k
			n 1		1

P a T

n 0

Замечание.

Свойство (4) следует из (1), (2), (3).

Возьмём два непересекающихся интервала длины t и S.

P0 t S P0 t P0 S – показательная функция.

P t	ebt Т. к. P t			– вероятность, то b 0 .
0			0
P t et
0
P	t P		t P	t 1, t 0
0		1	k 1
P	t et 1 t o t				P t t o t
0					1
P		t o t
k	1

60. Непрерывные случайные величины.

Определение 1.

x ;

Случайная величина

называется

непрерывной, если

x lim

P x, x x

независящий от плотности распределения случайной величины ,

P x 0 .

Отсюда

следует, что

вероятность,

содержащаяся в

малом

отрезке

P x, x x P x x o x .

P B

x x o x

P x dx

xi B

x B

P P x dx 1

Дискретная случайная величина:

x1 , x2 , ..., xk , ...

P x1 ,

P x2 , ...,

P xk , ...

P B P xk

xk B

P xk 1

Непрерывная случайная величина:

P x dx 1

P B P x dx

70. Функции распределения и их свойства.

Функция распределения – универсальный способ задания дискретной величины.

Определение 2.

Для любой случайной величины и любой рассмотрим P x F . Эта вероятность называется функцией распределения случайной величины.

Пример.

Рассматривается дискретная случайная величина

: x1, x2 , x3 P : p1, p2 , p3

Функция распределения:

F x

1=p1+p2+p3

p1+p2 p1

Функция распределения показывает, как меняется вероятность, которая лежит слева.

	x x1
0,	x x1
	, x1 x x2
p1	, x1 x x2
F x	p2 ,	x2 x x3
p1	p2 ,	x2 x x3
	x x3
1,	x x3

Пример.

Случайная величина 0; a .

0, x 0

F x P x ax , 0 x a

1, x a

F x

С помощью функции распределения можно определить вероятность любого события:

P B ?

1) P a;b ?

Рассмотрим b a a b F b F a P a b .

P a b F b F a

2)				F bi F ai
2)	P ai		;bi	F bi F ai
		i		i		lim F x0 F x0 F x0 0 F x0
3)	P x0 lim			P x0	x0	lim F x0 F x0 F x0 0 F x0
			0 0			0 0

P x 0,		если	F x
	0
			F x
P x 0,		если	F x
	0

непрерывная в x0

разрывна в x0

Свойства функций распределения:
1.	0 F x 1
2.	F x неубывающая функция, то есть если x1 x2 , то F x1 F x2 .
	x2 x1 x1 x2
	x1 , x1 x2 несовместны.
	F x2 P x2 P x1 P x1	x2 F x1 P x1 x2

	lim F x 0	0
3.	lim F x 0
	x
	lim F x 1
	x
4.	Любая функция распределения непрерывна слева в любой точке, то
	есть lim F x F x .
	0 0
5.	Если дискретна, то F x кусочно-постоянна.
	F x P x P xk
	xk x
		x
6.	Если непрерывна, то F x	P y dy непрерывна.

Лекция № 5.

ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

80. Некоторые основные непрерывные законы распределения случайных величин.

Равномерный закон на отрезке.

Определение 1.

Случайная величина называется равномерно распределённой на a;b , если

C		1	, x a;b
C			, x a;b
		b a
P x		b a
0,	x a;b

P x


	a		b	x
Обозначение:	R a; b .
	0,	z a
z		a
	z
F z P z P x dx			, a	z b
		a
	b
	1,	z b

P x

Нормальный закон.

Определение 2.

Случайная величина называется нормальной с параметрами a и 2 , если

P x	1	e	x a 2
	1		2 2
			2 2
	2 2
	2 2

P x

	a a	a	x
Обозначение:	N a, 2 .

Частный случай:

a 0, 1

N 0,1 – случайная величина распределена по стандартному нормальному

закону.

P x	1	e	x2	x
	1		2
			2
0	2
	2

P x

-1 0 1 x

P x, a, 2

x a

Ф z P 0 z

P0 x dx

Свойства нормального распределения:

1. Ф z 1 Ф z z

		1	z
2.	Ф z		Ф* z , Ф* z x dx
		2
			0

3.Функция произвольного нормального распределения выражается через функцию стандартного нормального распределения.

x a 2

z a

U 2

z a

U 2

2 2

z a

F z P z

dx U

P x x		F x	F x	Ф	x2 a	Ф	x1 a

1	2	2	1

	z a
	dx Ф

4.Вероятностный диапазон значений.

N a, 2

P a 2 a 2 Ф 2 Ф 2 0.95 P a 3 a 3 Ф 3 Ф 3 0.997

Диапазон a 2 a 2 весьма вероятен. Диапазон a 3 a 3 практически достоверный.

5.Сумма двух нормальных случайных величин является нормальной случайной величиной (без доказательства).

6.Теорема Муавра-Лапласа в терминах нормального закона распределения.

Bi n, p N a, 2 (в смысле функций распределения)

Локальная:

P k C k pk qn k	p	x k, a np, 2 npq x			1	e


n	N				2npq
				1	2npq
вероятность			1

			длину

k np 2	1	k np
2npq
	npq
	npq		npq

Интегральная:

		x		np	k		np
P k k		Ф	2		Ф	1
P k k		Ф			Ф
1	2
				npq			npq

Показательный (экспоненциальный) закон распределения.

Определение 3.

Случайная величина называется распределённой по экспоненциальному закону с параметром a 0 , если

ae ax ,		x 0

P x	x 0
0,	x 0

P x a

0				x
Обозначение:		E a .
	z	0,		z 0
F z P z
F z P z		P x dx	e az , z 0
		1	e az , z 0

F x

Замечание.

Случайные величины не исчерпываются двумя типами (дискретными и непрерывными).

90. Преобразования случайных величин.

F x f

Каков закон распределения F y случайной величины преобразования?

1.	дискретна.
	F y P f y						P xk
							xk : f xk y
2.	непрерывна.
	F y P f y						P x dx
							x: f x y
	Пусть функция f монотонно возрастает, тогда x : f x y x :
	F y P f y P f 1 y F f 1 y										f 1 y
	F y P f y P f 1 y F f 1 y										P x dx

	P	y	dF	y	d	F f	1 y P f 1	y	d	f 1 y
	P	y		y		F f	1 y P f 1	y		f 1 y
			dy		dy				dy

после

x f 1 y .

Примеры.

1.Линейное преобразование.

непрерывна.

P x 0

a b

P y ?

	y a		y a
F y P a b y P		, b 0	F
	b			b

P	y F y F	y a	P	y a	1

		b		b	b

y a

, b 0 1 P

1 F

P y

y a

Ответ:

Например, 0

N 0,1

P x

P y

y a 2

N a, 2

2 2

Замечание.

N a, 2 , можно

N 0,1 , а затем

Чтобы получить

сначала

получить

преобразовать 0 a .

2.Возведение в квадрат.

P y ?

y P 2 y

y F

y 0,

y 0

y P

y , y 0

y F y

2 y

y 0

Например, 0

N 0, 2

P x

2 2

2 2 , y 0

y 0

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
28.06.2014812.19 Кб99Волковец А. Конспект лекций по теории вероятностей.pdf
#
28.06.201433.28 Кб15Домашнее задание на семинар 12.10.doc
#
28.06.2014583.81 Кб9Домашнее задание №7.jpg
#
28.06.2014496.49 Кб8Дополнение к лабораторной 3.jpg
#
28.06.2014398.79 Кб66Лекции.pdf
#
28.06.2014745.72 Кб59Лекции.pdf
#
28.06.201417.93 Mб99Ответы к экзамену.docx
#
28.06.20143.38 Mб230Ответы на экзаменационные билеты.docx
#
28.06.2014243.45 Кб93Полезные формулы.pdf
#
28.06.201450.18 Кб25Экзаменационная программа.doc
#
28.06.201431.23 Кб16Экзаменационная программа.doc