4. Критерий согласия Колмогорова.

Пусть – выборка из неизвестного распределения, и основная гипотезазаключается в том, что:

:.

Требуется составить критерий проверки гипотезы .

Если функция является непрерывной и возрастающей функцией, тогда в качестве критерия может быть использовать критерий согласия Колмогорова, статистика которогоимеет вид:

,

где – эмпирическая функция распределения.

Если гипотеза не верна, то есть, тогда точная верхняя граньне стремится к нулю с ростом, а стремится к некоторому конечному числу, которое затем умножается на. Отсюда, статистиканеограниченно возрастает с ростом, поэтому в критическую областьгипотезыследует отнести «большие» значения статистики:

,

где – пороговое значение, определяемое распределением статистикидля случая когда гипотеза верна, объемом выборкии уровнем значимости. При сравнительно небольших объемах выборки () распределение статистикиизвестно точно, при больших объемах выборки () для функции распределения известно приближенное выражение, основанное на сходимости функции распределенияк известной функции (теорема Колмогорова).

Прежде всего, покажем, что статистика неограниченно возрастает в том случае, если гипотезане верна.

Утверждение 6.20.

Пусть – выборка из распределенияи основная гипотезазаключается в том, что. Если гипотезане верна, тогда последовательность (по) случайных величин:

,

является не ограниченной по вероятности.

Доказательство:

Пусть ипроизвольно выбранные числа, покажем, что найдетсятакое, что для всех:

.

Если гипотеза не верна, то найдется хотя бы одно числотакое, что, и следовательно число. Заметим, что при всех элементарных событиях:

.

Значение эмпирической функции распределения при каждомсходится по вероятности к значению, отсюда, дляинайдетсятакое, что для всех:

.

Пусть для всех событияобразованы теми элементарными событиями, при которых:

,

.

Если и, тогда,

.

Пусть номер , тогда для каждогои всех:

Отсюда следует, что при :

,

тогда при ,

.

Таким образом, для произвольных инайден номертакой, что для всех:

.

Утверждение доказано.

Для вычисления порогового значения требуется определить функцию распределения статистикив том случае, когда гипотезаверна. Покажем, что если гипотезаверна и функциянепрерывна и возрастает, тогда распределениевовсе не зависит от. Действительно, есливерна, тогдаи статистикаимеет вид:

Поскольку непрерывна и возрастает, то существует обратная функциядля(), тогда,

.

Эмпирическую функцию распределения можно представить как сумму:

,

.

Отсюда,

Поскольку возрастает, то изследует, что, поэтому если, тоили, если же, тогдаили. Отсюда следует, что:

.

Пусть случайные величины , тогда:

,

где – эмпирическая функция распределения выборки. Таким образом,

.

Заметим, что случайные величины имеют равномерное распределение, посколькунепрерывная и возрастающая функция (тема 5 пункт 6), поэтому– эмпирическая функция распределения для выборки из равномерного распределениянезависимо от того какова функция, отсюда распределение статистики:

зависит только от и не зависит от. При сравнительно небольшихраспределениеможет быть вычислено, и значения сведены в таблицы для различных. При большихиспользуется приближенное вычисление функции распределения, основанное на теореме Колмогорова.

Теорема(Колмогоров)

Пусть – выборка из распределения,– эмпирическая функция распределения выборкии статистика:

.

Если – непрерывная функция, тогда для любого фиксированного:

.

Без доказательства.

Из теоремы Колмогорова следует, что если гипотеза верна, тогда уровень значимости:

,

,

где известная функция, так что значениевычисляется численным методом.

98