3. Критерий Стьюдента.

Пусть наблюдение образовано двумя независимыми выборками: – выборка из нормального распределения , – выборка из нормального распределения , и – независимы, параметры , и – неизвестны. Основная гипотеза заключается в том, что :

: .

Требуется составить критерий для проверки гипотезы .

Для проверки гипотезы используется критерий Стьюдента со статисткой:

, , , , .

(7.2)

Утверждение 7.3.

Пусть – выборка из нормального распределения , – выборка из нормального распределения , и – независимы. Основная гипотеза заключается в том, что .

Если гипотеза верна, тогда статистика (7.2) имеет распределение Стьюдента .

Доказательство:

Если гипотеза верна, то есть , тогда:

.

Отсюда, статистика (7.2):

.

(7.3)

Поскольку – выборка из , то случайная величина имеет нормальное распределение (как сумма нормальных случайных величин):

,

отсюда следует,

.

Аналогично,

.

Легко видеть, что

,

поскольку и нормальные случайные величины,

,

,

поскольку,

,

где в силу независимости выборок и .

Согласно теореме Фишера (теорема 5.5) случайная величина имеет распределение , а случайная величина – распределение , причем случайные величины и независимы, поэтому в силу свойства распределения хи-квадрат:

.

Случайная величины и независимы: и независимы по теореме Фишера (теорема 5.5), и независимы, поскольку выборки и независимы, и независимы, поскольку и независимы, и и независимы по теореме Фишера (теорема 5.5).

Таким образом, в (7.3) случайная величина в числителе имеет распределение , случайная величина в знаменателе имеет распределение и случайные величины числителя и знаменателя независимы, отсюда следует, что статистика имеет распределение Стьюдента .

Утверждение доказано.

Можно показать, что если гипотеза не верна, то статистика (7.2) неограниченно возрастает по вероятности. Действительно, статистика сходится по вероятности к , а статистика – к :

, при ,

, при ,

тогда в силу свойства сходимости по вероятности:

, при .

Если гипотеза не верна, тогда , и следовательно .

Случайная величины и сходятся по вероятности к вероятности к , поэтому знаменатель статистики :

, при .

Таким образом,

, при ,

.

Поскольку множитель возрастает с одновременным увеличением и , то статистика с большой вероятностью принимает большие значения в том случае, когда гипотеза не верна. Отсюда, в критическую область следует отнести «большие» значения статистики :

,

где – квантиль распределения Стьюдента уровня , где – заданный уровень значимости.

4. Однофакторный дисперсионный анализ.

Неформально задача дисперсионного анализа заключается в том, чтобы установить меру влияния факторов на наблюдаемый результат. Например, влияет ли качество сырья (первый фактор) и технология производства (второй фактор) на качество произведенного продукта (наблюдаемый результат), или, например, влияет ли уровень подготовки преподавателей (один фактор) на квалификацию выпускаемых специалистов (наблюдаемый результат).

В качестве исходных данных для анализа предоставляются несколько серий наблюдений, произведенных при различных значениях факторов. В процессе анализа фактически сравниваются на отдельные наблюдения, а средние значения наблюдений при различных значениях факторов. Если разброс средних значений оказывается большим, то следовательно фактор имеет существенное влияние, если же разброс средних оказывается небольшим, то скорее всего фактор не имеет существенного влияния.

В общем случае, факторов может быть несколько, но если фактор один, то анализ называют однофакторным.

Пусть имеется один единственный фактор, который может иметь различных уровней (значений), которые пронумерованы числами от 1 до . При каждом значении фактора производится независимых наблюдений (измерений) результата, и результаты записываются – .

Формально, будем считать, что заданы выборок :

,

…,

,

причем,

1. – выборка из нормального распределения , ;

2. , …, совместно независимы;

3. числа и неизвестны.

Требуется составить критерий для проверки основной гипотезы , которая заключается в том, что:

.

Фактически, гипотеза утверждает, что фактор не имеет никакого влияния на наблюдаемый результат (все наблюдения в среднем одинаковы).

Определим для каждой выборки выборочное среднее и выборочную дисперсию :

,

.

Определим также общее выборочное среднее и общую выборочную дисперсию ( ):

,

.

Дисперсионный анализ основан на сравнении двух дисперсий: межгрупповой и внутригрупповой.

Межгрупповая дисперсия определяется соотношением:

.

Межгрупповая дисперсия отражает различие выборочных средних между выборками (группами наблюдений ), причем каждое отклонение входит в сумму с весом , учитывающим объем выборки по отношению к суммарному объему всех выборок, и сумма всех весов .

Внутригрупповая дисперсия определяется соотношением:

.

Внутригрупповая дисперсия отражает «взвешенную, среднюю» выборочную дисперсию выборок: каждая выборочная дисперсия входит в сумму с весом , учитывающим объем выборки по отношению к суммарному объему всех выборок, и сумма весов .

Рассмотрим статистику :

,

по теореме Фишера (теорема 5.5), каждая статистика имеет распределение .

Замечание 7.4.

В действительности, теорема Фишера была сформулирована для статистики с исправленной выборочной дисперсией , тем не менее легко видеть, что и это одна и та же статистика, действительно:

.

Поскольку все величины независимы (все выборки независимы), то в силу свойства воспроизводимости при сложении распределения хи-квадрат случайная величина имеет распределение :

.

(7.4)

Легко видеть, что межгрупповая дисперсия и внутригрупповая дисперсия независимые случайные величины. Действительно, случайная величина :

является функцией только выборочных средних ( ). Случайная величина :

является функцией только выборочных дисперсий ( ). Заметим, что при всех и случайные величины и независимы: если , то случайные величины и независимы, поскольку выборки и независимы, если , то и независимы, поскольку по теореме Фишера (теорема 5.5) случайные величины и независимы и . Таким образом, все слагаемые в и все слагаемые в попарно независимы, поэтому и независимы. Отсюда следует, что и независимы.

Покажем, что выполняется основное дисперсионное соотношение:

.

Действительно,

.

Таким образом, всегда выполняется:

1) ;

2) и независимы;

3) .

Если гипотеза верна, то есть , тогда

,

где все случайные величины независимы и имеют одинаково распределение , то есть – выборка объема из нормального распределения , тогда в силу теоремы Фишера (теоремы 5.5) с учетом замечания 7.4 статистика имеет распределение :

.

Можно показать, что из равенства , и (7.4), в силу свойства распределения хи-квадрат, следует:

.

Таким образом, всегда справедливо , и независимы, а в случае если гипотеза верна, то , поэтому если гипотеза верна, тогда статистика имеет распределение Фишера :

.

Таким образом, в статистическом критерии проверки гипотезы может быть использована статистика с критической областью вида:

,

где – квантиль распределения Фишера уровня , и – заданный уровень значимости.

108