Тема 1. Математическая статистика. Основные понятия и определения.

1. Основная модель и задачи математической статистики.

Математическая статистика – это раздел математики, в котором рассматриваются задачи восстановления «вероятностной структуры» некоторого явления на основе наблюдений над этим явлением. Например, исследуется бросание монеты, для которой вероятность выпадения герба неизвестна. Наблюдение заключается в многократном подбрасывании монеты, пусть в результате 100 бросаний монеты герб выпал 74 раза. Из наблюдений следует, что монета, скорее всего, не является симметричной. Методы математической статистики в данном случае позволяют дать оценку неизвестной вероятности выпадения герба и построить интервал, в котором с большой вероятностью может находиться неизвестная вероятность. Подобных задач на практике встречается чрезвычайно много, а математическая статистика предоставляет математический аппарат, который позволяет формально подойти к решению целого ряда таких задач в достаточно общей постановке.

В теории вероятностей в качестве формальной основы используется понятие вероятностного пространства (,,), где– непустое множество элементарных событий,–-алгебра множеств с единицей,– вероятностная мера, определенная для множеств из, причем все три компоненты вероятностного пространства считаются заданными (определенными).

В задачах математической статистики вероятностная мера , как правило, не задана (неизвестна), но в некоторых случаях бывает известно, что вероятностная мерапринадлежит некоторому классу (множеству) мер. С помощью классавводится понятие вероятностно-статистической модели (,,), в рамках которой проводится постановка и решение задач математической статистики.

Большая часть задач математической статистики включает в себя исследование свойств класса , для проведения которого требуется дополнительная информация, поступающая в виде наблюдений. Формально наблюдения представляются совокупностью случайных величин (конечной либо счетной) или даже случайных функций.

В частных случаях, дополнительно известно, что класс представляет собой параметрическое семействомер, имеющих одинаковый вид и отличающихся лишь значением вектора параметров, принимающего значения из некоторого допустимого множества параметров. В таких случаях формулировки основных задач могут иметь следующий вид: по заданным наблюдениям определить неизвестный параметр, определить в каком интервале может находиться неизвестный параметр, определить согласуются ли наблюдения с различными утверждениями о неизвестном параметре, такими как «» или «», гдеизаданные числовые значения.

Пример.

Рассмотрим эксперимент, который заключается в троекратном бросании монеты и фиксировании результатов выпадений, при этом про монету ничего не известно, то есть, вероятность выпадения герба не задана.

Обозначим в качестве количество бросаний (), и в качественеизвестную вероятность выпадения герба. В данном случае вероятностно-статистическая модель, отвечающая описанному эксперименту, имеет следующий вид:

1) Множество элементарных событий можно представить как множество векторов изкомпонент, каждая из которых равна(что означает выпадение герба) или 0 (что означает выпадение решки). Таким образом,или кратко.

2) В качестве следует взять множество всех подмножеств.

3) Класс является параметрическим, параметрявляется неизвестной вероятностьюи множество допустимых значений параметра, то есть, где каждая мерапредписывает множествувероятность:

.

Под наблюдением в данной постановке следует понимать вектор из бинарных случайных величин, где

,

.

В процессе проведения эксперимента, каждая из случайных величин получит вполне определенное значение 1 либо 0, так что по окончании эксперимента будет получен вектор чисел, таким вектором может оказаться, например, вектор.

В рамках построенной модели некоторые основные задачи могут быть сформулированы следующим образом:

1) На основе наблюдения предложить метод вычисления (оценки) неизвестного параметра (задача построения оценки);

2) На основе наблюдения предложить метод построения интервала , в котором с большой вероятностью находится неизвестный параметр (задача построения доверительного интервала);

3) На основе наблюдения определить можно ли с большой долей уверенности считать, что монета является симметричной, то есть, считать, что неизвестный параметр (задача проверки гипотезы).

4) На основе наблюдения определить какое из двух утверждений «» и «» является «более правдоподобным» (задача различения двух простых гипотез).