![](/user_photo/1642_T3gTB.jpg)
- •Математический анализ
- •4 Семестр
- •Содержание.
- •Лекция № 1. Теория функций комплексного переменного. Комплексные числа и действия над ними.
- •10. Определение. Свойства.
- •20. Комплексная плоскость с и декартова плоскость .
- •30. Тригонометрическая форма комплексных чисел.
- •20. Предел f(z) в точке. Непрерывность.
- •30. Производная f(z). Условия Коши-Римана.
- •40. Теорема Коши-Римана.
- •Лекция № 3.
- •10. Геометрический смысл аргумента и модуля .
- •Некоторые конформные отображения.
- •10. Линейное отображение.
- •Лекция № 4.
- •Дробно-линейные отображения.
- •30. Определение. Простейшие свойства.
- •50. Декомпозиция дробно-линейного отображения.
- •Лекция № 5.
- •Лекция № 6.
- •20. Общий вид дробно-линейного отображения.
- •Лекция № 7. Интегрирование функций комплексного переменного.
- •10. Определение
- •Лекция № 8. Формула коши.
- •10. Окончание предыдущей лекции.
- •Лекция № 9. Следствия из формулы коши.
- •10. Напоминание.
- •30. Следствие3 (Теорема Лиувилля)
- •Комплексные ряды.
- •Лекция № 10. Степенные ряды. Ряды тейлора.
- •Лекция № 11.
- •Лекция № 12. Особые тчоки аналитических функций.
- •10. Несколько замечаний к разложению Лорана.
- •30. Классификация изолированных особых точек.
- •Лекция № 13.
- •Лекция № 14.
- •Лекция № 15.
- •Лекция № 16. Интегралы пуассона.
Лекция № 7. Интегрирование функций комплексного переменного.
10. Определение
На
кривой Г определена функция f(z):
Г->C.
Для определения
разобьем Г на N
частей точками A=A0,
A1,…
, Ak=B
На
каждой дуге
выберем произвольно точку εj
и
составим интегральную сумму σN
(f)=
Определение
Разумеется, как в интегрировании для вещественного переменного, данный предел не должен зависеть от того, каким способом выбрано разбиение и средние точки εj.
Замечание:
При
смене ориентации кривой Г, очевидно,
интегральная сумма меняет знак, что
выражается тем, что
,
где
20. Сведение к 2 вещественным интегралам.
Запишем интегральные суммы σN (f) в комплексной алгебраической форме:
Ясно, что f(εj)=U(ζj,ηj)+iV(ζj,ηj),/
εj= ζj+i ηj
/,а
,j=0…N-1
σN (f)=
Таким
образом, limλN->0σN(f)=
Из (1) Следствия:
Основные
свойства комплексного интеграла
точно такие же, как и у вещественных
интегралов 2-го рода:
Смена знака при смене направления на кривой, аддитивность относительно промежутка интегрирования, линейность.
Формула вычисления:
Пусть Г задана в параметрической форме:
Г={(x,y): x=x(t), y=y(t), 0<=t<=T}
в
комплексной форме эта запись имеет вид:
Г={z:z=z(t),
где t
Утверждение:
Доказательство:
Очевидно, из (1), зная параметр t, сворачиваем полученные формулы в комплексный интеграл.
Замечание:
Из сказанного ясно, что для работы с комплексными интегралами можно ограничиться знаниями о вещественных криволинейных интегралах второго рода. Но для комплексного интегрирования выбраны специальные комплексные методы работы. (узнаем ниже).
Пример:
Г={z:
z=z0+Reit}
0<=t<=2π
z-z0=Reit
Г={z:
|z-z0|=R}
Вычислить
Ответ:
действительно, полагая z=z0+Reit, dz=Rieitdt , имеем (z-z0)n=Rneint и dz=iReitdt
Тогда
ez=T=2πi
eiz-T=2π
Если
же n=1,
то
Замечание:
30. Интегральная теорема Коши.
Пусть G-односвязная ограниченная область в Г
Г-граница
области G
Пусть, далее, в области G определена аналитическая функция f(z), причем непрерывная вплоть до границы Г
Теорема Коши:
В указанных условиях справедливо уравнение:
Доказательство:
Проведем доказательство при чуть более сильных условиях, а именно в предположениях, что частные произвольные
Действительно, по формуле сведения комплексного интеграла к двум вещественным интегралам (*)
Преобразуем (*) по формуле Грина
ч.т.д.
40.Следствие.
Так как для многосвязной области
=>
Лекция № 8. Формула коши.
10. Окончание предыдущей лекции.
Интегральная теорема Коши для многосвязной области.
G- многосвязная область с границей Г U {r1, r2,…rN}
Теорема. Пусть f(z) аналитична в G и непрерывна вплоть до границы Г U {r1, r2,…rN}, тогда
Доказательство:
«Превратим» область G в односвязную область с помощью N разрезов.
(γ1+,γ1-)…(γN+,γN-)
Получившаяся область очевидно односвязна => по теореме Коши для односвязной области
ГN- граница получившейся односвязной области.
Остается заметить, что при обходе общей границы ГN ориентация границ γ1…γN по часовой стрелке, т.е. обратная ориентация к той, котороя указана в формуле (1).
В итоге получим:
Или
Ч.т.д.
20. Формула Коши.
Пусть,
как и ранее, G
– односвязная область с границей Г и
f(z)
Тогда для любого z, принадлежащего G справедлива формула
Доказательство:
Тогда
по теореме Коши
,
(*)
Ибо
функция
\{Bε(z)}
Покажем, что при ε->0
Действительно имеем
Следовательно,
|Тем
самым …
Возвращаемся к(*), получаем ответ
|
Замечание:
В конце доказательства мы воспользовались неравенством:
,
где вещественный интеграл первого рода
(по длине дуги).
dS – дифференциал дуги на Г.
Это свойство интегралов немедленно вытекает из соответствующего свойства для интегралов сумм с учетом очевидного неравенства.
,
где |∆zj|
- длина хорды, dSj
– длина «дужки».
30. Высшие производные.
Утверждение. Всякая аналитическая функция имеет производные любого порядка (2,3…).
Пусть
f(z)
тогда в любой z
Доказательство:
Т.к.
свойство аналитичности есть локальное
свойство функции fz)
в сколь угодно малой окрестности точки
z,
то требование f(z)строго
говоря, излишне, хотя для доказательства
применим формулу Коши.
Ясно,
что согласно этой формуле имеем
f’(z)
= lim∆z->0
=
lim∆->0
Итог:
f’(z)=
Далее проводим аналитические выкладки, придем к формуле:
f’’(z)=
…
f(n)(z)=
f(z)=
k=
Замечание: Очевидно, что полученная серия формул получается из формулы Коши последовательным дифференцированием по z под знаком интеграла.