Лекция № 16. Интегралы пуассона.

Интегралы Пуассона, которые мы будем рассматривать

1. J(a)=

2. J(a,b)=

1-й интеграл можно вычислить, не обращаясь к ТФКП с помощью приема:

1⁰. Вычисление первого интеграла.

J²(a)=

x=rcos

y=rsin

Ответ: J(a)=

2⁰. Вычисление второго интеграла.

Прежде всего заметим, ччто

Этот интеграл можно вычислять методом выходов в комплексную плоскость. Так как функция эксопнициально убывает при х-> +-- ∞, то интегрирование по вещественной оси можно заменить по любой параллельной прямой:

Именно рассмотрим интеграл

Иными словами, дело свелось к вычислению указанного комплексного интеграла. Оказывается, что значение у=у₀ можно выбрать так, что интегрирование сведется к интегралу J(a).

Имеем

Выберем у=у₀ так, чтобы

-2axy+bx ==x(02ay+b)=0, т.е. положим у=у₀=b/2a.

Из формулы (2) и (1)

J(a,b)=

Остается заметить, что

ay₀²-by₀=

Замечание: На доказанную формулу можно смотреть как на вычисление преобразования Фурье функции f(x)=

Именно,

Экзаменационная программа по математическому анализу

1. Комплексные числа и действия над ними.

2. Тригонометрическая форма комплексных чисел.

3. Экспоненциальная форма комплексных чисел.

4. Геометрический смысл основных действий над комплексными числами.

5. Функции комплексного переменного. Примеры.

6. Предел функции в точке z₀. Непрерывность.

7. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.

8. Геометрический смысл аргумента и модуля производной f’(z). Конформные отображения.

9. Отображение w=1/z. Бесконечно удалённая точка.

10. Линейные отображения.

11. Дробно-линейное отображение. Его конформность.

12. Основное свойство дробно-линейных отображений (круговое о.О).

13. Неподвижные точки дробно-линейного отображения. Теорема единственности.

14. Теорема существования дробно-линейного отображения по заданным образам трёх точек.

15. Отображение областей, ограниченных прямыми и окружностями.

16. Общий вид дробно-линейного отображения единичного круга на себя

17. Экспонента e^z. Определение. Периодичность.

18. Геометрия экспоненциального отображения.

19. Логарифмическая функция. Главная ветвь логарифма.

20. Интеграл по кривой от функции комплексного переменного, сведение к двум вещественным интегралам. Пример.

21. Формулы вычисления комплексных интегралов как криволинейных интегралов второго рода.

22. Интегральная теорема Коши.

23. Интегральная теорема Коши для многосвязной области.

24. Формула Коши.

25. Высшие производные аналитический функции. Неравенства Коши.

26. Теорема Лиувилля.

27. Основная теорема алгебры.

28. Теорема Морера.

29. Комплексные ряды. Первая теорема Вейерштрасса.

30. Комплексные ряды. Вторая теорема Вейерштрасса.

31. Степенные ряды. Теорема Абеля.

32. Радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара.

33. Ряд Тейлора. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.

34. Теорема единственности аналитических функций.

35. Теорема Лорана о разложении функции аналитической в кольце.

36. Особые точки аналитической функции. Типы изолированных особых точек.

37. Нули аналитической функции. Кратность нуля.

38. Классификация изолированных особых точек в терминах ряда Лорана.

39. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса.

40. Вычет функции в изолированной особой точке. Пример.

41. Вычисление вычетов через коэффициент C_-1 ряда Лорана.

42. Вычисление вычетов в точке полюса.

43. Вычисление комплексных интегралов с помощью вычетов.

44. Вычисление интегралов ∫(cosφ,sinφ)dφ [o,2π].

45. Лемма Жордана. Применение к вычислению несобственных интегралов.

46. Интегралы Пуассона.