Лекция № 4.

Геометрия некоторых комплексных отображений.

Под геометрией комплексных отображений мы подразумеваем характер поведения некоторых множеств на плоскости z при их отображении на комплексную плоскость w.

1⁰. Отображение инверсии

Мы уже знаем, что функция ω=1/z : C_z\{0} <-> C ω \{∞}

Добавляя к плоскости Cω бесконечно удаленную точку ω = ∞, можно считать, что ω=1/z: _z\{0} <-> ω\{∞}

Единичная окрестность Г₁ = {z: |z| = 1} переходит в себя.

Замечание. При отображении ω =1/z лучи, исходящие из начала координат переходят также в лучи, исходяшие из начала координат, но при этом повышаясь на 2π.

Ясно, что близкое отображение ω = 1/z оставляет луч самим собой. Это отборажение называется инверсией.

ω = f(z), z₀f’(z₀)=0

2⁰. Линейное отображение.

Определение.

Линейное отображение: ω=f(z), где f(z) = az + b

a ≠0

Геометрия отображения сводится к композиции двух отображений

ω₁=az, ω ≡ ω₂ = ω₁ + b (сдвиг)

ω = ω₂ ω₁(z)

Очевидно, что f ’(z)=a ≠ 0, т.е. линейное отображение всюду конформно. Можно дать эквивалентную, но другую интерпретацию линейного отображения.

Линейное отображение ω = az + b имеет 1 неподвижную точку z=

Обозначим ее γ= , тогда ω=az + b  ω - γ =a(z – γ )

ω₂= ω - γ

ω₁=z-γ

Дробно-линейные отображения.

30. Определение. Простейшие свойства.

ω=f(z), где f(z)=, т. е. ω=

Оговорки:

1. с≠0, т. к. с=0 – линейный случай.

2. 

Вычислим производную этого отображения:

Вывод. Дробно-линейное отображение z≠

конформно во всех точках zC_z, исключая, быть может, точку z=.

«Картина». Конформность нарушена в точке δ=

Во всех остальных точках кривые на плоскости z поворачиваются на угол φ=argа коэффициент растяжения равен

k=

Что касается самой точки δ, то геометрия ее окрестности выглядит так:

Всюду конформно.

Замечание. Как и в линейном случае дробно-линейное отображение можно дополнить до отображения расширенной комплексной плоскости , положив, по определению, ω(δ)= ∞ и это отображение будет конформно и в этой точке.

50. Декомпозиция дробно-линейного отображения.

ω=

Такая запись позволяет представить дробно-линейное отображение в виде композиции простейших отображений.

ω₀=z-δ (сдвиг)

ω₁=сω₀

ω₂=1/ω₁

ω₃=aϒω₂

ω=ω₄=

Все эти отображения нами изучены.

Основное свойство дробно-линейных отображений

Теорема. Всякое дробно-линейное отображение переводит семейство прямых и окружностей на плоскости z в семейство прямых и окружностей на плоскости W.

Доказательство:

Как известно из аналитической геометрии, всякая прямая или окружность записывается в виде

A(x²+y²)+2Bx+2Cy+D=0



Запишем в комплексной форме уравнение (1)



Покажем, что при дробно-линейном отношении образом кривой, описанной (1) будет «кривая», описанная текаим же уравнением на плоскости с_ω. С этой целью заметим, что достаточно рассмотреть ω=1/z (смотреть декомпозицию ω₂=1/ω₁ )

В этом случае будем иметь

Z=1/ω

- семейство прямых и окружностей на плоскости ω

Ч.т.д.

Вывод. Если на плоскости Z задана область, границей которой являются прямые или окружности, то при дробно-линейном отображении ее образом будет область такого же типа.