МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Лекции

Математический анализ

4 Семестр

Лектор Дубинский Юлий Андреевич

Москва, 2009/2010

Содержание.

Лекция № 1.	Теория функций комплексного перемеенного. Комплексные числа и действия над ними........................................................................................... 4
Лекция № 2.	Функции комплексного переменного............................................................9

Лекция № 1. Теория функций комплексного переменного. Комплексные числа и действия над ними.

10. Определение. Свойства.

Определение 1.

Комплексными числами назовём символы , гдеи– вещественные числа,– мнимая единица.

Принято называть вещественной частью, а– мнимой.

Определение 2.

Алгебраически множество данных символов будут образовывать поле комплексных чисел, если будут определены операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Определение 3.

Комплексно сопряженным с число назовём символ.

1. сложение комплексных чисел

2. вычитание комплексных чисел

3. умножение комплексных чисел

4. деление комплексных чисел

Замечание.

Не трудно проверить, что – умножение коммутативно.

Также выполняются свойства коммутативности и дистрибутивности сложения.

Вывод: поле комплексных чисел является расширением поля вещественных чисел с сохранением всех свойств 4-x арифметических операций.

Пример.

20. Комплексная плоскость с и декартова плоскость .

Очевидно, что соответствует пара вещественных чисел, которая определяет точку на и наоборот – каждой точке соответствует комплексное число. При этом должное соответствие взаимно однозначно, поэтому множество комплексных чисел называют комплексной плоскостью и на практике часто геометрически отождествляют с.

Это совмещение особенно полезно при изучении геометрических вопросов как теории комплексных чисел, так и теории комплексных функций.

Замечание.

Трактовка комплексных чисел как векторов декартовой плоскости даёт геометрическую иллюстрацию сложения и вычитания комплексных чисел (обычное сложение и вычитание векторов).

Геометрическая иллюстрация операций умножения и деления связана с тригонометрической или экспоненциальной формой записи комплексного числа.

30. Тригонометрическая форма комплексных чисел.

Рассмотрим на декартовой плоскости полярную систему координат:

Утверждение 1.

записывается в виде .

Определение 4.

Число называется модулем комплексного числа и обозначается.

Определение 5.

Значение (угол) называется аргументом и обозначается символом. Заметим, чтоопределяется не однозначно на. Очевидно, годится любой угол.

Определение 6.

Во избежание путаницы выделяется главная ветвь аргумента , которая обозначается.

Утверждение 2.

4⁰. Экспоненциальная форма комплексного числа.

Тогда

В этой записи также легко записать формулы Муавра:

Лекция № 2.

Замечание.

Укажем пропущенную на предыдущей лекции зависимость от вещественных переменных х, у:

(*)

Формула (*) соответствует определению с разрезом плоскости С по отрицательной полуоси ОХ.

При этом значения придает верхнему «берегу» разреза. Аналогично можно выписать формулы при разрезе вдоль положительной полуоси ОХ. При этом

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

1⁰. Определение. Примеры.

Пусть – комплексная область на плоскости. Пусть – некоторая область на плоскости ,.

Определение 1.

Всякое отображение области G на области W называется функцией комплексного переменного со значениямив областиW.

Заметим, что при заданной функции

–функция вещественных (х, у),

–функция вещественных (х, у).

Таким образом, всякая комплексная функция однозначно определяется двумя вещественными функциями:

–реальная (действительная) часть функции

–мнимая часть функции

Поэтому, говоря о комплексной , указывают, что.

Примеры.

1. , где – комплексные числа, аN – целое.

2.