
- •2) Для любого положительного числа в множестве m можно найти число , такое что
- •Доказательство.
- •Арифметика бесконечно малых последовательностей.
- •Доказательства:
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Примеры:
- •Следствие (т. О промежуточном значении непрерывной функции):
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Производная сложной функции.
- •2)Доказательство аналогично.
- •Доказательство.
2)Доказательство аналогично.
Достаточное условие строгого экстремума в терминах старшей производной.
Пусть
в точке х0 у функции f(x)
существует n
производных, причём
Тогда, если n=2k,
то в точке х0 экстремум, и если
Если n=2k+1
в точке х0 нет экстремума и точка х0
точка возрастания. Если
и точка убывания,
если
.
Следствие.
Если в точке х0 у функции f(x)
существует
, то, если
>0,
то в точке х0 минимум,
<0,то
в точке х0 максимум (k=1).
Доказательство.
Разложим функцию f(x) в ряд Тейлора.
или
знак
определяется
первым слагаемым, если n
– четное, то знак
зависит от знака
.
По этому, если
то
>0
– минимум.
то
<0
– максимум. Если n
– нечетное, то знак
зависит от
и
,
т.е. при переходе через точку х0 знак
меняется, следовательно в точке х0
экстремума нет.
Следствие.
.
f’’(x0)>0,
>0
– минимум; f’’(x0)<0,
<0
– максимум.
БИЛЕТ 37. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба. Необходимое условие перегиба.
Выпуклости функции. Точка перегиба.
Опр. Функция f(x) на интервале (a,b) называется выпуклой вверх (выпуклой вниз), если
(
)
Геометрически это означает что кривая y=f(x) лежит выше(ниже) прямой.
Достаточное условие строго выпуклости.
Теорема. Если на интервале (a,b) f’’(x)>0, то f(x) выпукло вниз, если f’’(x)<0, то f(x) выпукло вверх.
Доказательство
Рассмотрим
разность
х2-х1>0
а)Если
выпукла вниз.
б)
Если
выпукла вверх.
Опр. Точка х0 для функции f(x) называется точкой перегиба, если она является концом интервала выпуклота вверх(вниз) и началом интервала выпуклота вниз(вверх)
Необходимое условие точек перегиба.
Если функция дважды непрерывна, дифференцируема в точке х0 и если точка х0 является точкой перегиба, то f’’(x0) = 0
Доказательство. Если бы f’’(x0)>0 то в некоторой окрестности точке х0 f(x) была выпукла вниз. Если бы f’’(x0)<0 то в некоторой окрестности точке х0 f(x) была выпукла вверх. Но это противоречит определению точке перегиба: точка перегиба не принадлежит ни какому интервалу выпуклости.
БИЛЕТ 38. Достаточные условия перегиба графика функции.
Достаточное условие точки перегиба.
Если функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точке х0 кроме, быть может, самой точки х0, но f(x) непрерывна в точке х0 и ее производная меняет знак при переходе через точку х0, то в точке х0 – точка перегиба.
Доказательство.
Т.е. в случае (1) точка х0 является концом интервала выпуклости вверх и началом интервала выпуклости вниз, следовательно точка х0 точка перегиба. В случае (2) точка х0 является концом интервала выпуклости вниз и началом интервала выпуклости вверх, следовательно х0 точка перегиба.
Замечание. Заметим, что если функция y=f(x) выпукла вниз, то ее график лежит выше касательной, если функция y=f(x) выпукла вверх, то ее график лежит ниже касательной.
Теорема.
Пусть функция f(x)
обладает следующим условием
непрерывна в точке x0
и
.n-четное
y=
f(x)
выпукла вверх, если
и выпукла вниз, если
,
n+1-нечетное-
точка x0-точка
перегиба.