
- •2) Для любого положительного числа в множестве m можно найти число , такое что
- •Доказательство.
- •Арифметика бесконечно малых последовательностей.
- •Доказательства:
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Примеры:
- •Следствие (т. О промежуточном значении непрерывной функции):
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Производная сложной функции.
- •2)Доказательство аналогично.
- •Доказательство.
Производная сложной функции.
Пусть
функция y=f(x)
имеет производную в точке
,а
функция z=F(y)
имеет производную в точке
,
тогда сложная функция Ф(x)=F(f(x))
имеет производную в точке
.
Доказательство:
Функция f(x)
непрерывна в окрестности точки
,
функция F(y)
непрерывна в окрестности точки
,
поэтому в окрестности точки
существует сложная функция Ф(x).Функция
F(y)
имеет производную в точке
,
поэтому она дифференцируема в этой
точке.
(\/)
-бесконечно
малая более высокого порядка, чем
,
но
может быть неопределенна в точке
=0,
поэтому мы доопределяем ее по непрерывности
в точке 0 :
.Разделим
равенство (\/) на
:
F(y)=F(y(x))=Ф(x)
и тогда равенство запишем в виде
.
Перейдем к пределу
.
окажем, что
,
то y=f(x)
непрерывна в окрестности точки
,
т.е.
(
и
стремятся
к 0 одновременно), т.е.
(т.к.
бесконечно
малая более высокого порядка, чем
),
а
,
т.о. получим формулу
.
Инвариантность формы первого дифференциала.
Дифференциал первого порядка имеет тот же самый вид: произведение производной функции на дифференциал аргумента , независимо от того, является аргумент независимой переменной или зависимой.
z-независимая переменная , y-зависит от x
Если
y=f(x),
то
БИЛЕТ 29. Теорема Ферма.
Теорема Ферма (необходимое условие extr):
Пусть
определена на интервале (a,b)
и точка
если
в точке
функция f(x)
достигает max
или min
значения и в точке
существует производная, то f’(
)=0.
Доказательство.
Пусть
для определенности в точке
принимает max
значение, т.е
.
В точке
существует производная
,
тогда
(правая
и левая производная).Распишем отношение
переходя
в этих интервалах к пределу, получим
Замечание.
Теорема
носит локальный характер, т.е. точка
является локальным экстремумом.
Геометрический смысл теоремы.
В предположение теоремы всегда существует точка, в которой касательная к графику функции параллельная OX.
БИЛЕТ 30. Теорема Ролля.
Теорема Ролля:
Пусть
функция y=:
1) непрерывна на отрезке [a,b];
2) дифференцируема (a,b);
3)
f(a)=f(b),
тогда
Доказательство.
Функция
f(x),
непрерывна на [a,b]
достигает на нем max
M
и min
m
значения, т.е
.
Возможны два случая.
1)
и
2)
,тогда
либо максимальное значение f(x)
либо минимальное значения f(x)
достигается внутри интервала (a,b)
(не на конце отрезка [a,b]).(f(a)=f(b)).
,
тогда
достигает максимального или минимального
значения во внутренней точке интервала
(a,b)
и по теореме Ферма
|
|
|
|
|
|
Все
условия теоремы Ролля существенные.
Если выполняется, только 2 из 3(см.
картинку), то не существует точка причем
(касательная
параллельная оси ОХ).
БИЛЕТ 31. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений).
Теорема Лагранжа.
Пусть функция f(x)
-непрерывна на отрезке [a,b];
-дифференцируема на интервале (a,b);
Тогда
(формула
конечных приращений)
Доказательство.
Рассмотрим
функцию
.Параметр
выберем из условия F(a)=F(b)
Функция
F(x)
удовлетворяет всем условием т.Ролля
(она непрерывна и дифференцируема, как
сумма непрерывных и дифференцируемых
функций )
Геометрический смысл.
В
предположение теоремы существует
точка
:касательная к графику функции параллельна
секущей(хорде).
Следствие.
Пусть
f(x)
определена, непрерывна и дифференцируема
на (a,b).
И в каждой точке интервала (a,b)
,
тогда f(x)=const.
Доказательство.
Пусть
x1
и x2
две произвольные точки интервала(a,b),тогда
,
точка
лежит между этими точками x1
и x2,
по условию
,
т.е f(x)=const(в
силу произвольности выбора x1
и x2).
БИЛЕТ 32. Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений).
Теорема Коши.
Пусть
функции
и g(x)
определены на интервале (a,b)
1)
и g(x)
непрерывны на [a,b];
2)
и g(x)
дифференцируемы на (a,b)
причем
,
тогда
Доказательство.
Рассмотрим
функцию
параметр
выбрали из условия
.
Для
функции F(x)
выполнены условия теоремы Ролля.
Формулировка теоремы Ролля
Сравнивания формулы для
,
получим утверждение теоремы.
Следствие.
Теорема
Лагранжа.
Если
,то
.
БИЛЕТ 33. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей.
Правило Лопиталя.
Для
раскрытия неопределенности вида
.Пусть
и g(x)
определены в окрестности точки а, кроме,
быть может, самой точки а и
.
И пусть в окрестности точки а существуют
.
Если существует
,
то
и эти пределы равны.
Доказательство.
-
а - конечное число. Доопределим функции
и g(x) в точке х=а, по непрерывности: f(a)=g(a)=0. Рассмотрим отношение
. Здесь
(использовали теорему Коши). Перейдем к пределу при
(т.к
и если
, то
).
-
надо сделать замену, x=1/t, тогда
,
и правило применяется к новой функции
.
Теорема 2.
Пусть
и g(x)
определены и дифференцируемы в
окрестности точки а и
.Если
,
то
и они равны.
Замечание.
В
формулировке теорем необходимо
потребовать, чтобы
.
-теорема
1 доказана.
-теорема 2 формулировка.
.
Пример,
когда нельзя применять правило Лопиталя
.
Вычислим
предел отношения производных
он не существует, т.к. не существует
предел числителя и знаменателя. Правило
Лопиталя применять нельзя.
Вычислить.
БИЛЕТ 34. Формула Тейлора.
Формула Тейлора.
Пусть
функция
дифференцируема
в точке
,
тогда
,
где
-бесконечно
малая более высокого порядка чем
.
,
где
линейная
функция, причем
.
Можно
расписать, что
,
т.е в окрестности точки
функция f(x)
ведет себя как линейная. Поставим более
общую задачу: для функции y=f(x)
найти многочлен порядка n,
который обладает следующими свойствами:
Многочлен
будем писать в виде
первые
равенства получаются путем дифференцирования
формулы для
и подстановки
.
Вторые равенства - это требуемые свойства
.f(x)
у которого существует производная до
n
порядка включительно можно найти
коэффициенты
Многочлен
,
,
многочлен
Тейлора для функции f(x).
Обозначим
Рассмотрим
функцию
и
вычислим
Т.о
получим
,
остаточный
член формулы Тейлора.
Пусть
функцияf(x)
определена на интервале (a,b)
и в каждой точке x0
принадлежащей интервалу (a,b)
имеем производную до n
порядка включительно, тогда
,
где
Единственность многочлена Тейлора.
Пусть
функция
представлена в окрестности точки
многочлена вида
Доказательство.
Если
где
её многочлен Тейлора и есть у нас другой
многочлен
надо показать, что коэффициенты одинаковы
Пусть
сократим на
.
пусть
сократим на
и т.д.
многочлен
Тейлора единственен.
БИЛЕТ 35. Условие постоянства функции. Условие монотонности функции.
На
рисунке нарисован график
функции
,
всюду имеющей производную. В точке
касательная к
и ось
образуют
острый угол
,
поэтому ее угловой коэффициент, равный
,
положителен. Но
.
Следовательно,
.
И так будет в любой точке интервала
,
где функция
монотонно возрастает. Напрашивается
вывод: если на интервале
,
то на этом интервале функция монотонно
возрастает. Далее, в точке
касательная к
образует с осью
тупой
угол
,
поэтому ее угловой коэффициент, равный
отрицателен. А так как
,
то
.
Вывод: если на интервале
,
то на этом интервале функция монотонно
убывает. В точке
функция имеет максимум. На чертеже
ясно, что в этой точке касательная к
параллельна оси
,
и поэтому ее угловой коэффициент равен
нулю, так что
.
При этом слева от этой точки
,
а справа
.
Теорема (достаточный признак монотонности).
1).
Если
на
отрезке
,
то
монотонно
возрастает на
.
2).
Если
на
отрезке
,
то
монотонно
убывает на
.
Доказательство:
Возьмем
любые числа
и
,
причем
<
,
из интервала
.
По формуле Лагранжа получаем:
,
,
и поэтому
принадлежит интервалу
.
Так как
,
то в первом случае
,
то есть
,
а во втором
,
то есть
,
что и требовалось доказать.
БИЛЕТ 36. Экстремумы функции. Достаточные условия экстремума.
Теорема 1. Необходимое условие экстремума.
Пусть точка х0 является точка экстремума для функции f(x). Тогда, если существует f’(x0), то f’(x0)=0, либо f’(x0) не существует.
В точке х1 – min; в точке х2 – max.
Теорема 2. Достаточное условие строгого extr в терминах первой производной.
Пусть
f(x)
дифференцируема в некой окрестности
точки х0, и в точке х0 f(x)
непрерывна. Если f’(x)
при переходе через точку х0 меняет знак,
то точка х0 является точкой строгого
экстремума, при этом 1)если при
,
а при
то
в точке х0 – минимум. 2)если при
,
а при
то в точке х0 максимум.
Доказательство.
Докажем
1)
.Теорема
Лагранжа
.
а) Если х-х0>0 и
.
б) если х-х0<0 и
,
т.е при переходе через точку х0
не меняет свой знак:
>0,
т.е точка х0-точка минимума.