
- •2) Для любого положительного числа в множестве m можно найти число , такое что
- •Доказательство.
- •Арифметика бесконечно малых последовательностей.
- •Доказательства:
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Примеры:
- •Следствие (т. О промежуточном значении непрерывной функции):
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Производная сложной функции.
- •2)Доказательство аналогично.
- •Доказательство.
Доказательство:
Докажем,
что
.
Предположим
противное, то есть
.
Возьмем
=1,2,3…
Получим
:
1)
2)
Из
этих определений получаем
.
=>
-подпоследовательность
последовательности
:
.
-непрерывна
в точке
=>
.
-подпоследовательность
последовательности
:
=>
.
Противоречие.
Замечание:
Замкнутость
по
существу.
,
,
но
Не
является ограниченной на
.
БИЛЕТ 24. Вторая теорема Вейерштрасса.
Пусть
.
Тогда
Замечание:
Непрерывная на отрезке
функция на этом отрезке достигает
своего наибольшего и наименьшего
значения, причем в условиях теоремы
отрезок по существу.
Доказательство:
По
условию теоремы
=>
ограничена
на
=>
Докажем, что
.
Предположим противное, то есть
.
Рассмотрим вспомогательную функцию
на
.
По 1 теореме Вейерштрасса
ограничена
на
,
то есть
.
(<
)-
верхняя граница.
,
то есть
.
Противоречие.
Следствие:
если
,
то
.
БИЛЕТ 25. Равномерная непрерывность и непрерывность в точке. Теорема Кантора (без доказательства).
Определение
1:
Функция
непрерывна
в точке
,
если
.
Определение
2:
Функция
непрерывна
в точке
,
если
,
.
Определение
3:
Функция
непрерывна
в точке
,
если
.
Функция, непрерывная на отрезке.
Определение:
Функция
называется
непрерывной на отрезке
,
если она непрерывна в каждой внутренней
точке этого отрезка, непрерывна справа
в точке
и
непрерывна слева в точке
.
Теорема
Кантора:
Если функция
непрерывна
на отрезке
,
то для любого
можно указать такое
,
что
для любых
и
из
таких, что
.
+ БОНУС
Доказательство:
Возьмем
число
.
Построим на отрезке
точки
следующим образом: если точка
уже построена, то рассмотрим множество
,
состоящее из всех точек
,
удовлетворяющих неравенствам:
,
.
Положим (см. рисунок), что:
если
пусто (и на этом построение заканчивается).
если
не пусто.
Заметим,
что
в силу непрерывности
и
для любого
из отрезка
.
Последовательность
может быть конечной или бесконечной.
Предположим, что она бесконечна, тогда
для
всех
.
Пусть
.
Так как
,
то функция
непрерывна в точке
слева,
и потому можно указать такое число
,
что
и
для любого
из интервала
.
По определению числа
можно
найти
в
интервале
.
Тогда любое число
из интервала
принадлежит
интервалу
,
и потому
,
что противоречит тому, что
.
Таким образом, последовательность
не
может быть бесконечной, и потому
существует такой номер
,
что
.
Положим:
.
Возьмем два любых числа
и
из отрезка
таких, что
.
Тогда возможны два случая: или обе эти
точки попали на некоторый отрезок
и тогда
,
или этого не случилось, и тогда найдется
точка
между
и
.
Но в этом случае
,
так как
и (доказывается аналогично)
,
а потому
.
Так как все приведенные рассуждения
справедливы для любого
,
то теорема доказана.
Смысл
этой теоремы
состоит в том, что для всех точек отрезка
можно по заданному числу
подобрать общее для всех точек
число
(фигурирующее в определении). Для
функций, непрерывных на интервале это
можно сделать уже не всегда.
БИЛЕТ 26. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Понятие производной функции.
Определение:
Пусть функция f(x)
определена в окрестности точки
.Если
ее приращение
можно представить в виде
,то
говорят ,что f(x)
дифференцируема в точке
(иногда
пишут
-величина
более высокого порядка, чем
а это означает, что
)
-линейная
функция от
.Она
называется дифференциалом функции
f(x)
и обозначается
Пример:
Критерий дифференцируемости:
Для
того, чтобы функция y=f(x)
была дифференцируема в точке
необходимо и достаточно, чтобы
существовала производная в этой точке.
Доказательство:
1.Необходимость.
f(x)
дифференцируема в точке
это означает
.
Разделим это равенство на
и перейдем к пределу
,т.е. существует
,
т.е. производная существует.
2.Достаточность.
Пусть существует
или
,
т.е. f(x)
дифференцируема в точке
.
Итак,
,
т.е.
.Отсюда
следует новое обозначение производной
и эту величину можно рассматривать как
один символ, так и как частное
дифференциалов.
Понятие производной функции.
Определение:
Производной функции
в
точке
называется предел
Очень удобна более короткая запись для
этого предела и более короткое обозначение
для производной
.
БИЛЕТ 27. Алгебраические свойства дифференцируемых функций.
Теорема:
Если
функции
и
имеют
производные, то
1)
.
2)
.
3)
(
постоянная).
4)
.
Доказательство:
По теореме об арифметике пределов
функций, по определению производной и
формулам:
,
и
имеем:
1).
.
2).
==
=
+
+
+=
=
,
так как множители
и
не зависят от
и
при
являются постоянными, а
,
поскольку
имеет производную и потому непрерывна.
3).
(так как
).
4).
=
.
БИЛЕТ 28. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.