- •2) Для любого положительного числа в множестве m можно найти число , такое что
- •Доказательство.
- •Арифметика бесконечно малых последовательностей.
- •Доказательства:
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Примеры:
- •Следствие (т. О промежуточном значении непрерывной функции):
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Производная сложной функции.
- •2)Доказательство аналогично.
- •Доказательство.
Арифметика бесконечно малых последовательностей.
Теорема: сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Пусть . Возьмем произвольный.
Аналогично
.
Обозначим .
Тогда .
То есть
Теорема: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.
, - ограниченная, то есть .
Возьмем произвольный.
- бесконечно малая.
.
Обозначим . Тогда
.
То есть
Замечание: сходимость ограниченной последовательности здесь не требуется.
БИЛЕТ 6. Теорема об арифметике пределов последовательностей.
Пусть , . Тогда:
1) существует
2) существует
3) если то существует .
Доказательства:
где и - бесконечно малые последовательности.
1)
бесконечно малые.
бесконечно малые.
2) =
бесконечно малая бесконечно малая
бесконечно малая
3) где
- бесконечно малая последовательность.
По условию
-ограниченная.
бесконечно малая.
.
БИЛЕТ 7. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
Определение: -монотонно возрастающая (монотонно убывающая), если (). Если неравенства строгие, то последовательности строго возрастающие (убывающие).
Теорема (о пределе монотонной последовательности). Пусть -монотонно возрастает и ограничена сверху. Тогда она сходится, причем .
Доказательство:
ограничена сверху =>по теореме существования точной верхней грани . Докажем, что .
: 1)
2) .
Возьмем произвольный , обозначим из 2).
1)=>
2)=> (монот. возр).
Из этого следует, что , => .
Мы доказали достаточное условие числовой сходимости последовательности (монот. и огр.)
(огр. на б.м.).
БИЛЕТ 8. Число е.
Сложно доказать, что функция при имеет предел. Этот предел обозначается буквой в честь открывшего его петербургского математика Леонарда Эйлера. Установлено, что это- иррациональное число и что =2,718281828459…. Формула, определяющая число по традиции называется второй замечательный предел. . Также число-основание натуральных логарифмов.
Рассмотрим .
1. Ограниченность.
-биноминальный коэффициент.
+<
2. Монотонность.
+.
…
.
По теореме о монотонности последовательности - сходится.
БИЛЕТ 9. Подпоследовательности. Частичные пределы. Теорема о частичных пределах сходящейся подпоследовательности.
Определение: Пусть дана некая последовательность . Из элементов этой последовательности извлечем другую последовательность , где последовательность -номера элементов исходной последовательности, причем Тогда последовательность -подпоследовательность последовательности .
Замечание: Элементы подпоследовательности выбираются в порядке их следования в исходной последовательности. .
Определение: Если , то -частичный предел последовательности .
Теорема (о частичных пределах сходящейся подпоследовательности): Пусть , тогда .
Доказательство:
Возьмем произвольный , тогда .
Возьмем произвольную . Обозначим . Тогда имеем:
. Таким образом:
.
Замечание: Понятие частичных пределов для сходящихся последовательностей не нужно.
БИЛЕТ 10. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Теорема: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство: (метод деления пополам).
I). Проведем построение системы отрезков.
ограниченная .
Рассмотрим точку - середину отрезка .
1) В отрезке содержится бесконечное число элементов .
Тогда , .
2) В противном случае , , -содержит бесконечное число элементов .
Рассмотрим точку - середину и так далее.
1.
2. в содержится бесконечное число элементов .
3. .
II). Выбор подпоследовательности
По лемме о вложенных отрезках:
1) произвольный элемент из
2) элемент из :
………………………………………………….
k) элемент из :
Докажем, что .
0 ().
.
БИЛЕТ 11. Критерий Коши сходимости последовательности.
Теорема (критерий Коши): Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
Замечание: Условие необходимости (=>), условие достаточности (<=), критерий- условие необходимости и достаточности (<=>).
1) Необходимость: (=>).
Пусть . Возьмем произвольный Тогда .
. Обозначим, тогда
.
фундаментальна.
2) Достаточность: (<=).
1. фундаментальна => ограниченная .
Возьмем , , тогда .
Обозначим . .
ограничена.
2. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
ограниченная => - сходящаяся. Обозначим
3. Докажем, что
Возьмем произвольный . фундаментальная => .
Обозначим и выберем
-
k>K
-
Тогда .
. То есть
БИЛЕТ 12. Два определения предела функции. Эквивалентность определений.
Пусть определена в некоторой выколотой окрестности т.
Определение 1 (Гейне): , если , ,
Замечание:
Определение 2 (Коши): , если .
.
Замечание: , то есть .
Теорема: Определение 1 <=> Определение 2.
Имеем . .
Возьмем произвольную = => .
Обозначим . Тогда 0<.
Т.обр.
., то есть
БИЛЕТ 13. Свойства пределов функций, связанные с неравенствами.
Теорема: Пусть и , тогда .
Теорема: (Локальн. Огр.): Пусть , тогда , :
.
.
Возьмем Тогда .
Теорема: Пусть , и . Тогда
Возьмем произвольный , , , причем .
(по теореме о предельном переходе в неравенство) .
Теорема: Пусть , и
. Тогда существует . Возьмем произв. ,
, , причем
сущ. .
Теорема (об отделимости от нуля): Пусть , : .
Доказательство:
.
Возьмем , тогда
, , .
БИЛЕТ 14. Теорема об арифметике пределов функций.
Теорема: Если существуют и , то:
1). .
2). = (- постоянная).
3). *.
4). , если .
Доказательства:
Доопределив по непрерывности функции и в точке , положив = и = (это изменение функций не влияет на их пределы). В точке будут непрерывны функции , , , (так как =. Поэтому в силу равенства=получим:
1). =.
2). ==
3). =*.
4). =.
БИЛЕТ 15. Первый замечательный предел.
Для доказательства возьмем вектор окружности радиуса 1 с центральным углом, равным (радиан), и проведем . Тогда пл. < пл. сект. < пл. или . Разделив все части этого неравенства на > 0, получим
или . Это неравенство, доказанное для любых из интервала (0;), верно для любого из интервала (-;) в силу четности функций, входящих в это неравенство.
Докажем, что
() при
А раз и , то .
Кроме того: =1
БИЛЕТ 16. Второй замечательный предел.
.
На первый взгляд кажется, что при имеет пределом единицу (так как 1+при имеет пределом единицу, а единица в любой степени есть единица). Но в степень возводится 1+, а не единица. И вот из-за этой бесконечно малой добавки предел не равен единице. Чтобы приблизительно представить себе поведение функции при малых приведем таблицу значений этой функции:
1/2 |
1/3 |
1/4 |
0.01 |
0.001 |
|
2.25 |
2.37… |
2.44… |
2.7047… |
2.7169… |
Из этой таблицы видно, что с уменьшением функция увеличивается. Оказывается, что это имеет место для всех >0, а из этого следует, что функция имеет предел.
Доказательство:
Рассмотрим этот предел, как предел функции натурального аргумента на бесконечность. Тогда:
По определению Гейне:
=
=
Вычислим . Рассмотрим ==.
По определению Гейне рассмотрим .
*
То есть ===.
Также ====
1
БИЛЕТ 17. Сравнение бесконечно малых функций. Примеры.
Определение: бесконечно малая функция при , если .
Определение: Пусть и- бесконечно малые функции при . Тогда:
1) и эквивалентны при (~,), если .
2) ,- бесконечно малые одного порядка малости при , если . 3) - бесконечно малая более высокого порядка малость, чем .
(=(),), если .
4). имеет -й порядок малости относительно при , если .
5). называется ограниченной относительно бесконечно малой функции при , если .
Примеры:
1). при .
2). (, -бесконечные малости одного порядка).
3). ()
1 0
4). …
()- 2-й порядок малости относительно при .
5).
- произвольная.
БИЛЕТ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции. Критерий эквивалентности. Теорема о замене на эквивалентные.
Определение: функция называется бесконечно малой при , если =0.
Теорема (критерий эквивалентности):
Пусть ,-бесконечно малые функции при .
-. Тогда ~ при .
Доказательства:
(). Пусть ~, , то есть .
=0,
то есть .
()..,.
=1.
Теорема (о замене на эквивалентные):
Пусть функция ~, ~ при и существует , тогда существует и =. То есть выражение или функцию можно заменять на эквивалентное.
=**=.
1 1
БИЛЕТ 19. Определения непрерывности функции в точке. Простейшие свойства непрерывных функций.
Определение 1: Функция непрерывна в точке , если .
Определение 2: Функция непрерывна в точке , если , .
Определение 3: Функция непрерывна в точке , если
.
Свойства непрерывных функций:
Теорема 1 (локальная огр.): Пусть функция непрерывна в точке , тогда .
Теорема 2 (отделимость от 0): Пусть функция непрерывна в точке и , тогда
. .
Теорема 3 (арифметика непрерывных функций): Пусть , непрерывны в точке , тогда:
1). непрерывна в точке .
2). непрерывно в точке .
3). Если , то непрерывно в точке .
БИЛЕТ 20. Непрерывность сложной функции.
Теорема: если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке то сложная функция непрерывна в точке .