Исследование операций (обучающая система) / chapter4 / Igri2xn

Математическая модель Игры 2 х n и m х 2 

          Пусть имеется матрица игры 2 x n: она состоит из двух строк и n столбцов. Дадим задаче геометрическую интерпретацию; n стратегий противника изобразятся n прямыми. Построим нижнюю границу выигрыша и найдем на ней точку N с максимальной ординатой; эта ордината и будет ценой игры v, а абсцисса точки N будет равна вероятности р2 стратегии A2 в оптимальной смешанной стратегии игрока А:

 SA*=(p1,p2).

         Зная, какие стратегии пересекаются в точке N, можно указать активные стратегии противника. В нашем случае  оптимальная смешанная стратегия противника  

SB*=(0,q2,0,q4)

состоит из смеси двух активных стратегий В2, B4, пересекающихся в точке N.

         Стратегия B3 является заведомо невыгодной, а стратегия B1 — невыгодной при оптимальной стратегии SA* Вероятности q2 и q4 относятся как длины отрезков KB4 и KB2 на рисунке. 

          Если A будет пользоваться своей оптимальной стратегией SA*, то выигрыш не изменится, какой бы из своих активных стратегий ни пользовался В, однако он изменится, если В перейдет к стратегиям B2 или B3.

        Можно доказать, что у любой конечной игры m*n существует решение, в котором число активных стратегий каждой стороны не превосходит наименьшего из чисел n и m.