Исследование операций (обучающая система) / chapter4 / IgrPriroda
.htmМатематическая модель Игры с природой. Матрица риска
Близкой по идеям и методам к теории игр является теория статистических решений. От теории игр она отличается тем, что неопределенная ситуация не имеет конфликтной окраски - никто никому не противодействует, но элемент неопределенности на лицо. В задачах теории статистических решений условия операции зависят не от сознательно действующего "противника", а от объективной действительности, которую в теории статистических решений принято называть "природой". Соответствующие ситуации часто называются "играми с природой". "Природа" мыслится как некая незаинтересованная инстанция ("равнодушная природа", - по Пушкину), "поведение" которой не известно, но во всяком случае незлонамерена.
Казалось бы, отсутствие сознательного противодействия упрощает задачу выбора решения. Оказывается нет: - не упрощает, а усложняет. Правда, принимающему решение в "игре с природой" в самом деле "легче" добиться успеха (ведь ему никто не мешает), но ему "труднее" обосновать свой выбор. В игре против сознательного противника элемент неопределенности отчасти снимается тем, что мы "думаем" за противника, "принимаем" за него решения, самое неблагоприятное для нас самих. В игре же с природой такая концепция не подходит: кто ее знает, как она, матушка, себя поведет? Поэтому теория статистических решений - наиболее "шаткая" в смысле рекомендаций наука. Все же у нее есть право на существование и на внимание со стороны лиц, занимающихся исследованием операций.
Рассмотрим игру с природой: у нас (сторона А) имеется m возможных стратегий А1,А2, ...,Аm; что касается обстановки, то о ней можно сделать n предположений: П1,П2, ..., Пn. Рассмотрим их как "стратегии природы". Наш выигрыш aij при каждой паре стратегий Аi, Пj задан матрицей:
П1
П2
...
Пn
А1
a11
a12
...
a1n
А2
a21
a22
...
a2n
...
...
...
...
...
Аm
am1
am2
...
amn
Требуется выбрать такую стратегию игрока А, которая является более выгодной по сравнению с другими.
С первого взгляда кажется, что эта задача похожа на игру двух игроков А и П с противоположными интересами и должна решаться теми же методами. Но это совсем не так. Отсутствие противодействия со стороны природы делает ситуацию качественно другой.
Если даже в матрице игры с природой нет одной доминирующей над всеми другими, все же полезно посмотреть, нет ли в ней дублирующих стратегий и уступающих другим при всех условиях. Но здесь есть одна тонкость: так мы можем уменьшить только число стратегий игрока А, но не игрока П - ему ведь все равно, много или мало мы выигрываем! Предположим, что "чистка" матрицы произведена, и ни дублирующих, ни заведомо невыгодных игроку А стратегий в ней нет.
Чем же руководствоваться в деле принятия решения в условиях неопределенности, если ни одна стратегия не доминирует над другим? Ясно, что мы должны исходить из матрицы выигрышей (aij). Однако ситуация, которую дает матрица выигрышей, содержит свого рода "искажения".
Поясним, что мы имеем в виду. Предположим, что выигрыш при стратегии Ai и состоянии природы Пj, больше, чем при стратегии Ak и состоянии природы Пl:
aij>akl.
Но первый выигрыш может быть больше второго не за счет того, что мы выбрали более удачную стратегию, а просто за счет того, состояние природы Пj "выгоднее" для нас, чем Пl . С этой целью в теории решений вводиться важное понятие "риска".
Риском игрока при пользовании стратегии Ai в условиях Пj называется разность между выигрышем, который он получил бы, если бы знал Пj, и выигрышем, который он получил в тех же условиях, применяя стратегию Ai.
Обозначим rij риск игрока при его стратегии Ai в условиях Пj. Выразим риск rij через элементы матрицы выигрышей (aij). Очевидно, если бы игрок знал заранее состояние природы (условия) Пj, он выбрал бы ту стратегию, которой соответствует максимальный выигрыш в данном столбце, короче, "максимум столбца" - обозначим его, как и ранее, bj. Согласно определению риска,
rij =bj-aij ,(1) где bj=maxiaij.
Из этого определения следует, что риск не может быть отрицательным:
rij>=0.
При вычислении риска, соответствующего каждой стратегии в данных условиях, учитывается общая благоприятность или не благоприятность для нас данного состояния природы: величина bj служит как бы мерилом благоприятности состояния.
Матрица рисков (rij) дает зачастую более наглядную картину неопределенной ситуации, чем матрица выигрышей (aij). Здесь все зависит от точки зрения на ситуацию, от позиции исследователя, от того, какими бедами грозит неудачный выбор решения.