Питання для самоконтролю:

1. У чому полягає відмінність між горизонтальною і фронтально-проектуючою площинами?

2. У чому полягає відмінність між фронтальною і горизонтально-проектуючою площинами?

3. За якої умови вважається, що пряма лежить у площині?

4. Сформулюйте першу основну позиційну задачу нарисної геометрії.

5. З якою метою в креслення вводяться конкуруючі точки?

6. За якої умови вважається, що пряма паралельна площині?

7. За якої умови дві площини, які перетинаються між собою можна вважати паралельними?

8. Сформулюйте другу основну позиційну задачу нарисної геометрії.

Лекція 3. Перетворення комплексного креслення. План.

1. Метод заміни площин проекцій.

2. Перетворення площин загального положення в площину рівня.

3. Аксонометричні проекції.

1. Метод заміни площин проекцій.

Метричні та позиційні характеристики геометричних образів легко визначити при їх окремому положенні відносно площин проекцій. Оскільки на практиці геометричні образи найчастіше знаходяться в загальному положенні, треба їх привести із загального положення в окреме.

Метричні задачі зводяться до розв'язання чотирьох основних задач:

1. перетворення прямої загального положення в пряму рівня;

2. перетворення прямої загального положення в проектуючу;

3. перетворення площини загального положення в проектуючу;

4. перетворення площини загального положення в площину рівня.

Для розв’язання перелічених задач використовують такі методи:

1. Метод заміни площин проекцій;

2. Плоскопаралельне переміщення;

3. Обертання навколо прямих рівня;

4. Обертання навколо проектуючих прямих;

5. Обертання навколо сліду площини;

6. Комбіноване перетворення комплексного креслення.

Р ис. 1. Заміна площин проекцій.

3 . Аксонометричні проекції.

Прямокутні проекції об'єктів на комплексному рисунку є основним засобом зображення у різних галузях техніки, будівництва, архітектури тощо, вони дають можливість точного зображення тривимірних об'єктів. Недоліком цих зображень є їх недостатня наочність, бо один з трьох вимірів на рисунку відсутній. Треба мати розвинену просторову уяву і досвід роботи із зображеннями па комплексному рисунку. Для полегшення сприйняття зображуваних об'єктів в прямокутних проекціях їх часто супроводжують зображеннями в аксонометричній системі, або просто в аксонометрії.

Ідея аксонометрії полягає в тому що об'єкт жорстко прив'язується до просторової декартової системи координат, яка разом з об'єктом проектується на площину аксонометричних проекцій.

Існує як центральна, так і паралельна аксонометрія. Друга має значно більше поширення та використання, і тому далі будемо розглядати лише паралельну аксонометрію.

Класифікація аксонометричних проекцій зображена на рис. 5.

Рис. 5. Класифікація аксонометричних проекцій.

Н а рис. 6 показано точку А в прямокутній декартовій системі координат. Зокрема, на рисунку точка спроектована на горизонтальну площину х'О'у' в точку А'₁, яка має назву вторинної проекції, при цьому, як видно з рисунка, зразу визначаються всі три декартові координати точки.

Відношення аксонометричних проекцій відрізків до їх дійсних величин називаються коефіцієнтами, або показниками спотворення:

В залежності від кута, що утворюється між напрямом проектування та площиною аксонометричних проекцій, розрізняють прямокутну та косокутну аксонометрію. В першому випадку кут між напрямом проектування та площиною аксонометричних проекцій — прямий, а в другому — непрямий. В прямокутній аксонометрії залежність між показниками спотворення має такий вигляд:

.

В косокутній аксонометрії ця залежність така:

,

де — кут між напрямом проектування та площиною аксонометричних проекцій.

Основною теоремою паралельної аксонометрії є теорема Польке-Шварца: Будь-які три відрізки на площині, що виходять з однієї точки, можна розглядати як паралельні проекції трьох рівних та взаємно перпендикулярних відрізків у просторі.

Цю теорему спочатку сформулював К.Польке, а потім узагальнив її К.Шварц. На основі цієї теореми передбачається свобода вибору осей та аксонометричних показників. За ГОСТ 2.317-69 існують дві прямокутні аксонометричні проекції – ізометрія та диметрія та три косокутні – фронтальні ізометрія та диметрія та горизонтальна ізометрія. В практиці побудови аксонометричних проекцій найбільшого поширення здобули три аксонометричні системи: дві прямокутних – ізометрія та диметрія і одна косокутна – фронтальна диметрія (рис. 5).

Коли показники спотворення по всіх трьох осях однакові, тобто , то аксонометрію називають ізометрією, якщо , вона має назву диметрії, а якщо , — триметрії. Якщо в косокутній аксонометрії показники спотворення лежать у межах від 0 до , тобто , , , то в прямокутній аксонометрії , , .

Розташування осей та показники спотворення різних видів аксонометричних проекцій показано на рис. 7.

Приклади зображення куба з вписаними в його грані колами в найбільш поширених аксонометричних проекціях, зокрема, в прямокутній ізометрії та диметрії та косокутній фронтальній диметрії, показано на рис. 8-10.

Рис. 7. Аксонометричні проекції.