Эффективный алгоритм для решения векторного уравнения переноса излучений в мутной среде.

Аннотация. Решить численно векторное уравнение переноса излучений (ВУПИ) возможно только путем его дискретизации, которая требует ликвидации из решения анизотропной части, включая все особенности. Дискретное ВУПИ для мутных сред имеет единственное решение в матричной форме. Современные пакеты матричной (линейной) алгебры предоставляют лишь один возможный алгоритм решения ВУПИ с помощью компьютера. Различные реализации этого алгоритма различаются способом устранения анизотропной части. В статье анализируются методы устранения анизотропной части решения. Программы, созданные авторами этих методов, анализируются в простых ситуациях для того, чтобы определить их влияние на эффективность программ. Показано, что наиболее эффективным оказался метод, основанный на модификации малых углов метода сферических гармоник (МСГ). Программа, основанная на МСГ, детально исследована в зависимости от разных аппаратных и программных средств.

1. Краевая задача

Сравнение различных программ решения скалярных и векторных уравнений переноса излучений (УПИ, ВУПИ) показало, что результаты вычислений практически совпадают [1]. Это говорит о том, что различные численные методы поляризации поля в мутной среде являются, на самом деле, вариантами единого метода решения ВУПИ [2, 3]. В этой статье мы представляем общее решение ВУПИ, анализируем и оптимизируем вычислительный алгоритм и его эффективную компьютерную реализацию на основе общего выражения.

Имеется краевая задача для ВУПИ в мутной средней оптической глубины , на которой плоская волна произвольной поляризации света излучает (?) в направлении [3]:

(1)

где – вектор Стокса параметров светового поля в среде с оптической глубиной в направлении . Мы используем декартову систему координат OXYZ, где ось OZ направлена вниз перпендикулярно границе: , , , , – единичный вектор вдоль оси OZ.  – матрица рассеяния, – альбедо однократного рассеяния. – изменение матрицы параметров Стокса (ротор) на ссылку плоскости вращения. – двугранный угол между двумя плоскостями и , а – угол между плоскостями и . Орты отмечены знаком «^», столбцы – стрелкой вправо, строки – стрелкой влево, матрицы – стрелкой и вправо, и влево.

Для численного решения ВУПИ интегралы следует заменить на конечные суммы, которые могут быть вычислены одним из двух методов: методом сферических гармоник (МСГ) и методом дискретных ординат (МДО). МДО является лучшим методом реализации, так как ВУПИ получает четкую лучевую интерпретацию, что существенно упрощает описание составных граничных условий. В этом случае ВУПИ и граничные условия принимают вид взаимодействия потоков излучения для фиксированного направления в пространстве.

Однако в изначальной краевой задаче (1) замена интеграла квадратурой Гаусса невозможно в связи с особенностью решения. Эти особенности – неотъемлемая часть лучевого приближения. Действительно, любой разрыв в граничных условиях распространяется внутри среды в форме среднего между светом и тенью, что дает особенность в слиянии углового распределения. Следовательно, необходимо искать решение в виде обобщенной функции. Для рассмотрения особенностей решения, искомый вектор параметров Стокса представлен в виде суммы двух слагаемых: анизотропного, содержащего все особенности решения, и регулярного, состоящего из гладких функций угловых переменных:

. (2)

Предполагается, что анизотропную часть можно найти аналитически. Это также позволяет выразить его интеграл аналитически – методом исключения особенностей. Подстановка (2) в (1) приводит краевую задачу в следующем виде:

(3)

с функцией источника в правой части уравнения

. (4)

2. Дискретизация вупи

Эффективность применения МДО в случае ВУПИ сильно снижается в скалярном случае, это определено тем, что фазовую функцию можно представить серией (набором) гармонических поверхностей. МДО позволяет свести двойной интеграл к одинарному на основании теоремы сложения [4]. В случае поляризации матрица рассеяния окружена ротатором (ротором?) матрицы , что нарушает азимутальную симметрию и не позволяет применять теорему сложения для поверхностей гармоник. Kuscer-Rubanic [5] использует круговой базис для определения поляризации:

(5)

Изменяется форма ротатора (ротора?) и позволяется использовать обобщающие поверхностные функции для представления матрицы рассеяния, которые подчиняются теореме сложения специального вида:

(6)

В результате все коэффициенты ВУПИ стали комплексными числами, это затрудняет применение эффективных численных методов решения системы. Таким образом, после применения теоремы сложения для обобщенных сферических функций следует вернуться к представлению Стокса (ПС).

Рассмотрим детально локальные преобразования матрицы лучей при рассеянии:

(7)

где – матрица рассеяния, – ротатор (ротор?) в круговом поляризационном представлении.

Затем представим элементы матрицы рассеяния в форме разложения по обобщенным сферическим функциям

(8)

где r и s могут принимать только значения и ; K – номер гармоники представления матрицы рассеяния в обобщенных сферических функциях.

Приняв во внимание теорему сложения (6) имеем возможность получить каждый элемент локального преобразования матрицы в круговом поляризованном виде как

(9)

Используем диагональную матрицу и заметим, что можем получить выражение (7) в виде

(10)

где .

Тогда

, (11)

где – так называемая, «Греческая матрица»,

; (12)

и – вещественная (и мнимая?) части матрицы [6].

Наконец, ВУПИ (1) может быть записано как

. (13)

Интеграл рассеяния содержит комплексные числа, хотя все выражение (13) является вещественным. Учитывая симметрию функций имеем возможность избавиться от мнимой части [6] в выражении (13). Полученное выражение справедливо для всех матриц рассеяния. Однако в случае (аэрозоля?) блочно-диагональной матрицы выражение может быть упрощено еще больше [6]. Можно было бы представить решение задачи (3) в виде [6]:

, (14)

что сводит ВУПИ к следующему виду

, (15)

где M – количество членов в разложении Фурье по азимуту (???), ,

, (16)

. (17)

Для того, чтобы получить решение уравнения с помощью метода дискретных ординат, представим интегралы , входящие в уравнение (15), в двойной квадратуре Гаусса с учетом симметрии (плиты?). Соответственно, имеем систему обыкновенных дифференциальных уравнений для фиксированных m и c (поэтому мы их опускаем в уравнении)

, (18)

где – нули и веса квадратуры Гаусса порядка N/2.

Теперь введем следующие матрицы и векторы

(19)

, (20)

где .

Другие массивы задаются схожим образом.

В силу того, что (регулярные?) части функции угла гладкие, все матрицы конечны. Это позволяет переписать систему (18) в матричной форме

. (21)