Примеры

1. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование

.

Решение. Следуя алгоритму метода Лагранжа, выделим вначале в квад-ратичной форме все члены, содержащие  , и дополним их до полного квадрата:

.

Сделаем в этом выражении замену  и подставим его в квадратичную форму. Получим:

.

Далее выделим в  члены, содержащие и проделаем с ними анало-гичную процедуру:

Если положить  , то квадратичная форма уже не будет содержать смешанных произведений. Примем также , тогда

109

канонический вид квадратичной формы есть

.

Соответствующее преобразование от переменных  к переменным имеет вид:

.

2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, и записать соответствующий канонический вид этой формы:

.

Решение. В исходном базисе  матрица оператора, соответствующая данной квадратичной форме, есть

.

Эта матрица будет определять квадратичную форму канонического вида в ортонормированном базисе  , составленном из собственных векторов матрицы . Найдем их.

Характеристическое уравнение для матрицы имеет вид

.

Откуда следует

и  .

Как известно собственные векторы матрицы находятся из уравнений

.

Для случая  имеем:

.

110

Ранг матрицы этой системы уравнений (относительно  ) равен 1. Следовательно, ФСР системы состоит из двух линейно независимых решений.

Как видно из данной системы, величина  принимает произвольные значения, а величины связаны соотношением . В качестве собственных можно выбрать, например, векторы

Эти векторы ортогональны:  (если бы они оказались не ортогональными, то их нужно было бы ортогонализировать с помощью стандартной процедуры). Вектор к тому же и нормирован. Откуда следует - . Нормируем теперь вектор :

.

Для случая  уравнение, определяющее собственный вектор есть

.

Ранг матрицы этой системы уравнений равен 2. Следовательно она имеет одно линейно независимое решение, например,  Отнормируем этот вектор: .

Теперь можно составить искомую матрицу ортогонального преобразования:

.

111

Исходная квадратичная форма будет иметь следующий канонический вид

.

При этом переменные  связаны с переменными соотношением

или

3. Построить в прямоугольной системе координат фигуру, определяемую следующим уравнением, предварительно приведя его к каноническому виду

.

Решение. Выделим в этом выражении квадратичную форму  . Это три первых слагаемых уравнения .

Матрица квадратичной формы равна  . Проведём процедуру приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Характеристическое уравнение матрицы имеет вид

.

Его корни таковы:  .

Найдём теперь собственные векторы, соответствующие этим корням и отнормрируем их. Для вектора  , соответствующего

, имеем

112

В итоге собственный вектор, соответствующий , можно выбрать в виде

.

Анологичная процедура для собственного вектора  даёт:

Откуда:

.

После нормировки полученных векторов имеем:

.

Эти векторы представляют собой ортонормированный базис новой системы координат. Матрица ортогонального оператора, приводящего квадратичную форму к каноническому виду  , есть

Связь старых  и новых координат определяется соотношением .

Учитывая приведенные выражения, приведём заданную квадратичную форму к каноническому виду

113

Это есть каноническое уравнение эллипса в системе координат  ,которая получается из исходной её поворотом на угол и переносом начала координат в точку .