Длина вектора. Направляющие косинусы вектора
Z
aZ Пусть a = (aX, aY, aZ)
a
O
aYY
aX
XТак какaявляется диагональю параллелепипеда, то квадрат его длины равен сумме квадратов всех измерений параллелепипеда:
a
2 =
(a2X +
a2Y + a2Z),
откуда
a
= (a2X +
a2Y + a2Z)
ПрXa = a *cos, ПрYa = a *cos, ПрZa = a *cos,
Направляющие косинусы вектора а будут
cos=aX/acos=aY/acos=aZ/a
Из вышеизложенного следует, что для направляющих косинусов справедливо следующее:
сos2 + cos2 + cos2 = (a2X + a2Y + a2Z) / a 2 = 1
Понятие базиса. Разложение вектора по базису
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат.
Изобразим вектор так, чтобы он выходил из начала координат:
Z
Z
A
k
O
j Y
Y
i
X B
X
Определение: Базисомдля прямоугольной системы координатназывают
тройку векторов i, j, k,
Теорема(Разложениевекторапо базису):
Любой вектор в пространстве, который имеет координаты (X,Y,Z) может быть разложен по базису следующим образом:
= X * i + Y * j + Z * k
Доказательство:
OA=OB+OAZ- (см.рис). Из основания параллелепипеда можно
получить, что вектор OB=OAX+OAYоткуда:OA=OAX+OAY+OAZ
Рассмотрим векторы:
OAX i - коллинеарен, т.е. OAX = X * i
OAY j , тогда OAY = Y * j
OAZ k , тогда OAZ = Z * k ,
т.о. = X * i + Y * j + Z * k, что и требовалось доказать.
Скалярное произведение векторов
Определение: Скалярным произведением векторов и b называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
*
b =
*
b *
cos
=
(
, b),
b *
cos
= Пр b
b * cos = Прb , тогда
* b = * Пр b = b * Прb
3.9.1Свойства скалярного произведения.
1) *b=b*- переместительное свойство
2) ( *) *b=* (*b)
3) (+b) *c=*c+b*c- распределительное относительно суммы
( + b ) * c = c * ПрC ( + b ) = c* (ПрC + ПрCb) = * с + b * c
4) * = 2 - квадрат длины
5) Условие перпендикулярности двух векторов:
b*b= 0
3.9.2Следствия изсвойств скалярного произведения.
1. Скалярные произведения одноименных ортов равны 1
i2=j2=k2= 1
2. Скалярные произведения разноименных ортов равны 0
i * j = j * k = k * i = 0
3.9.3Скалярные произведения векторов через координаты
Пусть = x *i+ y *j+ z*k b = bx *i+ by *j + bz *k
Тогда на основании выше рассмотренных свойств
* b = x *bx* i 2+ x *by*i * j+ x*bz*i * k + y*bx* j * i +
+y * by * j 2+ y * bz * j * k + z * bx * k * i + z * by * k * j+
z * bz * k 2 = x * bx + y * by + z * bz
3.10Векторное произведение двух векторов
Векторным произведением векторов и b является такой вектор c, для которого выполняются следующие условия:
1) Длина вектора c равна площади параллелограмма, построенного на векторах и b
2) c перпендикулярен и c перпендикулярен b , c ; c b
3) вектор c направлен таким образом, чтобы кратчайший поворот от вектора к вектору b происходил против часовой стрелки, при условии, что мы наблюдаем с конца вектора c. В этом случае говорят, что векторы , b, c, образуют правую тройку векторов.
c
b
Свойства векторного произведения:
1) x b = - b x 2) * x b = *( x b )
3) ( + b ) x c = x c + b x c 4) x b = 0 b
Следствияиз данных свойств:
1) ixj=jxj=kxk= 0 ;
2) i x j = k , j x i = - k , k x i = j , i x k = - j,
j x k = i , k x j = - i ;
3) = x *i + y*j + z *k , b = bx *i + by *j + bz *k ,
x b = x*bx* i x i + x*by* i x j + x*bz* i x k + y*bx* j x i + y*by* j x j
+ y*bz* j x k + z*bx* k x i + z*by* k x j + z*bz* k x k =
= x*by* k - x*bz* j - y*bx* k + y*bz* i + z*bx* j - z*by* i =
= (y*bz - z*by ) * i + (z*bx - x*bz) * j + (x*by - y*bx) * k =
i
j k
= x y* z
bx by bz
Пример: = ( 3 ; -1 ; 2 ) , , b = (- 2 ; 3 ; -5)
- 1 2 3 2 3 - 1
x b = 3 - 5 * i - - 2 - 5 * j + 2 3 * k
= -1* i + 11* j + 11* k