Предел функции Предел функции в бесконечности

Число А называется пределом функции y = f(х) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа, найдется такое положительное число S (зависящее от, т.е. S = S()), что для всех х таких, что |х| > S, верно неравенство: | f(x) - А| <.

Отметим, что отличие этого определения от определения предела последовательности состоит в том, что для последовательности переменная nпринимала только натуральные значения, а здесь х принимает любые значения.

Предел функции в бесконечности обозначается  или f(x)А приx.

Итак,  .

Смысл определения состоит в том, что для достаточно больших по модулю значениях аргумента значения функции как угодно мало отличаются от числа А по абсолютной величине. Геометрический смысл определения можно пояснить рисунком 2.3.

Рисунок 2.3 – Геометрический смысл предела функции в бесконечности

Итак, число А есть предел функции у = f(x) при x, если для любого> 0 найдется такое числоS> 0, что для всех х таких, что |х| > S, соответствующие ординаты графика функции f(x) будут заключены в-окрестности точки А на оси ординат. При этом соответствующая часть графика будет находиться в полосе шириной 2.

Понятие предела функции в бесконечности можно сформулировать и при стремлении х к бесконечности определенного знака. Отличие будет состоять в том, что аргумент функции неограниченно возрастает не по абсолютной величине, а x+(тогда в определении вместо |х| > S будет стоять неравенство х > S) либоx-(тогда в определении вместо |х| > S будет стоять неравенство х < -S).

Предел функции в точке

Число А называется пределом функции y = f(x) при х, стремящемся к х₀ (или в точке х₀), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа, найдется такое положительное число(зависящее от, т.е.=()), что для всех хх₀таких, что |х - х₀| <, верно неравенство: | f(x) - А| <.

Предел функции в точке х₀ обозначается или f(x)А приxх₀.

.

Смысл определения состоит в том, что для всех значений аргумента, достаточно близких к х₀, значения функции как угодно мало отличаются от числа А по абсолютной величине. Геометрический смысл определения можно пояснить рисунком 2.4.

Рисунок 2.4 – Геометрический смысл предела функции в точке

Итак, число А есть предел функции у = f(x) при xх₀, если для любого> 0 найдется такая-окрестность точки х₀, что для всех хх₀из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции f(х) будут заключены в-окрестности точки А на оси ординат. При этом соответствующая часть графика будет находиться в полосе шириной 2.

Подчеркнем, что определение предела не требует существования функции в самой точке х₀. Рассматривая предел, предполагают, что х стремится к х₀, но не достигает этого значения. Поэтому наличие или отсутствие предела определяется поведением функции в окрестности точки х₀, а не тем, определена или нет функция в самой этой точке.

Понятие предела функции в точке можно сформулировать и в смысле одностороннего предела. Отличие будет состоять в том, что аргумент функции принимает лишь значенияx<x₀(тогда в определении вместо |х - х₀| <рассматривается интервал х₀-<x< х₀, а предел называютпределом слеваи обозначают ) либо лишь значенияx>x₀(тогда в определении вместо |х - х₀| <рассматривается интервал х₀<x< х₀+, а предел называютпределом справаи обозначают ).

Если , то , и наоборот (т.е. если в некоторой точке функция имеет пределы слева и справа, и они равны, то двусторонний предел тоже существует и равен тому же числу; и наоборот, - если существует двусторонний предел, то существуют и односторонние, равные ему же).

Условие, определяющее поведение аргумента, которое мы записывали под обозначением предела, будем называть базой предела и обозначать В в записи  .