Ранг системы векторов

Определение 2.5. Рангом системы векторов в линейном пространстве называют размерность линейной оболочки этой системы векторов.

Теорема 2.6. Ранг системы векторов   линейного пространства равен:

а) максимальному количеству линейно независимых векторов в системе а;

б) рангу матрицы, составленной по столбцам из координат векторов   каком-либо базисе линейного пространства .

Пусть g – некоторый базис в . Составим по столбцам матрицу А из координат в базисе g векторов  . Линейные операции над векторами   соответствуют таким же линейным операциям над столбцами их координат. Поэтому, согласно следствию 1.1, векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда столбцы их координат линейно независимы. По теореме о базисном миноре ранг матрицы А равен максимальному количеству ее линейно независимых столбцов. Это совпадает с максимальным количеством линейно независимых векторов в системе  . Следовательно, утверждения а) и б) теоремы эквивалентны.

Выберем в матрице А какой-либо базисный минор и зафиксируем столбцы этого минора (базисные столбцы). Соответствующие им векторы будем называть базисными. По теореме о базисном миноре, во-первых, базисные столбцы линейно независимы и поэтому базисные векторы образуют линейно независимую систему, а во-вторых, все остальные столбцы матрицы являются линейными комбинациями базисных и поэтому небазисные векторы системы выражаются через базисные. Следовательно, любая линейная комбинация векторов системы а сводится к линейной комбинации системы базисных векторов, т.е. любой вектор линейной оболочки системы векторов авыражается через базисные векторы. Значит, базисные векторы образуют базис линейной оболочки. Количество базисных векторов, с одной стороны, равно количеству базисных столбцов, т.е. рангу матрицы А, а с другой - совпадает с размерностью линейной оболочки, т.е. с рангом системы векторов .

Замечание 2.2. Как следует из приведенного доказательства, столбцы любого базисного минора матрицы А отвечают набору векторов системы   являющемуся базисом в   линейном подпространстве, порожденном этой системой векторов.

Пример 2.11. Пусть даны векторы   в четырехмерном линейном пространстве , имеющие в некотором базисе столбцы координат  ,   ,  . Соответствующая матрица А имеет вид

Вычислив ранг матрицы, убеждаемся, что он равен 2. Таким образом, ранг системы векторов равен 2. Легко проверить, что любой минор второго порядка является базисным. Поэтому базисом линейной оболочки этой системы векторов будут

Квадр формы и их применения

Определение.Квадратичной формой переменных ,принимающих числовые значения,называется числовая функция вида

,

где  - числа,называемые коэффициентами квадратичной формы.

Определение.Матрицей квадратичной формы переменных, называется симметрическая матрица порядка , элементы главной диагонали которой совпадают с коэффициентами при квадратах переменных,а каждый недиагональный элемент,расположенный в ой строке ом столбце, равен половине коэфициента при  в квадратичной форме.

Определение.Рангом квадратичной формы называется ранг её матри-цы. Квадратичная форма может быть записана в матричном виде  где  матрица квадратичной формы и .

Определение.Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид),если коэфициенты  при  ,то есть,если матрица квадратичной формы диагональная и следовательно

.,

где не все коэффициенты   равны нулю.

Теорема (Лагранжа).Для всякой квадратичной формы существует такой базис,в котором квадратичная форма имеет канонический вид.

Определение.Нормальным видом квадратичной формы называется такой канонический вид,в котором коэффициенты при квадратах неизвестных (не считая нулевых) равны .

Определение.Квадратичная форма  называется положительно

(отрицательно) определённой, если  при всех

108

и положительно (отрицательно) полуопределённой,если  при всех .

Теорема (критерий Сильвестра).Для того чтобы квадратичная форма была положительно определённой, необходимо и достаточночтобы все угловые миноры матрицы квадратичной формыбыли положительны,то есть,чтобы

Здесь  -угловые миноры матрицы квадратичной формы.

Следствие.Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой, необходимо и достаточно,чтобы знаки угловых миноров матрицы квадратичной формы чередовались следующим образом: