Пересечение и сумма линейных подпространств

Пусть   линейные подпространства в линейном пространстве .

Определение 2.2. Множество   называют Пересечением линейных подпространств   и Рис. 2.4

. На рис. 2.4 видим, что два линейных подпространства, изображенные плоскостями, в пересечении дают прямую, также являющуюся представлением некоторого линейного подпространства (см. пример 2.1).

Теорема 2.1. Пересечение двух линейных подпространств и. в линейном пространстве я вляется линейным подпространством в .

Проверим, выполняется ли условие 1) определения 2.1. Если векторы   и   принадлежат , то каждый из этих векторов принадлежит как так и . Поскольку - линейное подпространство, то, согласно определению 2.1, заключаем, что вектор   равный сумме векторов этого линейного подпространства, тоже принадлежит . Аналогично   так как каждое из слагаемых является элементом линейного подпространства . Следовательно,  .

Проверим условие 2) определения 2.1. Выберем произвольный вектор  . Тогда   и  . Так как является линейным подпространством, топроизведение элемента х этого линейного подпространства на произвольное действительное число   принадлежит . Но совершенно аналогично вектор - Поэтому .

Итак, оба условия определения 2.1 выполнены. Следовательно, является линейным подпространством.

Рис. 2.5

Определение 2.3. Множество   всех векторов   вида  , где   и  , называют суммой линейных подпространств и .

На рис. 2.5 линейные подпространства и представлены несовпадающими прямыми, проходящими через фиксированную точку О. Их сумма представляется плоскостью, содержащей обе прямые.

Теорема 2.2. Сумма линейных подпространств данного линейного пространства является линейным подпространством в том же линейном пространстве.

Рассмотрим два вектора   из множества . Согласно определению 2.3, имеют место представления

где векторы  . Складывая эти равенства, получаем

Сумма   векторов и   линейного подпространства принадлежит . Точно так же сумма   векторов и   линейного подпространства принадлежит . Поэтому вектор принадлежит множеству .

Условие 2) определения 2.1 проверяется аналогично. Произвольный вектор   имеет представление  , где и . Для любого действительного числа получаем равенства

Так как вектор  , а   то вектор   является элементом множества .

Мы доказали, что множество замкнуто относительно линейных операций объемлющего линейного пространства и поэтому, согласно определению 2.1, оно является линейным подпространством.

Пример 2.6. Рассмотрим две однородные системы линейных алгебраических уравнений.

Множества решений этих систем представляют собой линейные подпространства и линейного арифметического пространства . Объединив обе системы в одну, получим новую однородную систему, множеством решений которой будет линейное подпространство

Пример 2.7. Рассмотрим две системы векторов и   в некотором линейном пространстве . Линейные оболочки этих систем представляют собой линейные подпространства   и   в . Если мы объединим обе системы в одну, то у новой, объединенной системы линейной оболочкой будет линейное подпространство . В самом деле, любой вектор   разлагается в сумму , где и . Векторы и представляются в виде линейной комбинации, первый - векторов , второй - векторов . Значит, их сумма представляется линейной комбинацией векторов   т.е. вектор x принадлежит  . Предположим теперь, что вектор х принадлежит указанной линейной оболочке, т.е. имеет место представление

Положив   и 

приходим к представлению в котором и . Значит,

Пример 2.8. Линейное подпространство из примера 2.5, являющееся линейной оболочкой  , можно представить как сумму подпространств   и 

Рис. 2.6