5.5. Внутригрупповая и межгрупповая вариации

По результатам аналитической группировки можно рассчитать не только общую дисперсию, но еще и внутригрупповую и межгрупповую дисперсии.

Общая дисперсия характеризует колеблемость или вариацию исследуемого признака, возникающую под влиянием всех возможных факторных признаков. Для признака x_i она рассчитывается по формуле (5.12), а для доли – по формуле (5.19).

Внутригрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:

, (5.21)

где – это среднее значение признака в i группе.

Для доли:

(5.22)

Внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри каждой группы, вызванную влиянием всех факторов, кроме группировочного.

По совокупности в целом вариация значений признака, вызванная влиянием всех факторов кроме групировочного, характеризуется средней из внутригрупповых дисперсий:

(5.23)

Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:

(5.24)

Для доли:

(5.25)

Эта дисперсия характеризует вариацию исследуемого признака, вызванную влиянием факторного признака, положенного в основание группировки.

Между тремя видами дисперсий существует связь, которая называется правилом сложения дисперсий:

(5.26)

Зная два любых значения, можно всегда найти третье.

Чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияет на вариацию исследуемого признака вариация признака, положенного в основание группировки.

Оценка вклада выполняется с помощью двух коэффициентов:

1. Эмпирический коэффициент детерминации:

(5.27)

Данный коэффициент показывает, какая часть вариации исследуемого признака вызвана вариацией признака, положенного в основании группировки.

2. Эмпирическое корреляционное отношение:

(5.28)

Эмпирическое корреляционное отношение характеризует тесноту связи между вариацией исследуемого признака и вариацией группировочного признака.

Значение изменения: 0≤ ≤1. Чем ближе к 1, тем теснее связь между признаками.

=1, при и . Связь функциональная. В этом случае изменение исследуемого признака происходит только под воздействием группировочного признака, а влияние прочих факторов отсутствует.

=0, при и . В этом случае на изменение исследуемого признака влияет изменение всех прочих факторных признаков, кроме группировочного.

5.6. Моменты распределения

Момент распределения – это средняя арифметическая тех или иных степеней отклонений индивидуальных значений признака от определенной величины. В общем виде можно записать:

, (5.29)

где A – величина, от которой рассчитывают отклонение;

α – степень отклонения, определяющая порядок момента.

В зависимости от того, какая величина принята за А, различают три вида моментов распределения:

1) А=0 – начальные моменты.

(5.30)

2) А= – центральные моменты.

(5.31)

3) А=А – условные моменты ( ).

(5.32)

В зависимости от величины α в статистической практике используют моменты 1, 2, 3, 4 порядка, которые представлены в таблице 5.5:

Таблица 5.5

Моменты распределения

Моменты распределения	Начальные моменты	Центральные моменты	Условные моменты
Первого порядка
Второго порядка
Третьего порядка
Четвертого порядка

Рассмотрев представленные формулы, мы видим:

1. Начальный момент первого порядка совпадает со средней арифметической и может использоваться для характеристики центра распределения.

2. Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, в соответствии с нулевым свойством средней арифметической.

3. Центральный момент второго порядка совпадает со значением дисперсии и используется для оценки степени колеблемости признака.

4. Центральный момент третьего порядка для симметричного распределения равен нулю. Его используют при определении показателя асимметрии.

5. Центральный момент четвертого порядка используется при расчете показателя, характеризующего выпад вершины распределения. Его называют показатель эксцесса.

Начальные моменты 2, 3, 4 порядка, а также условные моменты самостоятельного значения не имеют, а могут использоваться для упрощения вычислений. Например: = .