5.2. Графическое изображение рядов распределения
Для дискретных вариационных рядов строится полигон распределения. Построение проводится в прямоугольных осях координат, по оси абсцисс показываем значение исследуемого признака, по оси ординат – частоту или частость появления данного признака (рис.5.1).
Рис. 5.1. Полигон распределения
Для интервальных вариационных рядов строиться гистограмма распределения. В этом случае, ряд распределения изображается в виде смежных столбиков одинаковой ширины. По оси абсцисс показывают интервалы значений признака, по оси ординат – частоты или частости появления признаков в каждом интервале (рис.5.2).
Рис. 5.2. Гистограмма распределения
Для графического представления вариационных рядов может использоваться также кумулята.
Кумулята – преобразованная форма вариационного ряда, показывает зависимость накопленных частот от величины признака (рис.5.3).
Рис. 5.3. Кумулята распределения
5.3. Показатели центра распределения
При проведении эмпирического исследования ряда распределения рассчитываются и анализируются следующие группы показателей:
• показатели положения центра распределения;
• показатели степени его однородности;
• показатели формы распределения.
К показателям положения центра распределения относятся степенная средняя в виде средней арифметической и структурные средние – мода и медиана.
Средняя арифметическая рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной (4.18). При этом для дискретного ряда распределения хi – это варианты значений признака, а в интервальном вариационном ряду хi – это середина соответствующего интервала.
В отличие от средней арифметической, рассчитываемой на основе всех вариант, мода (Mo) и медиана (Me) характеризует значение признака у статистической единицы, занимающей определенное положение в вариационном ряду.
Мода – такое значение признака, которое чаще всего встречается в совокупности.
Медиана – это то значение признака, которое делит совокупность на две равные части. При этом 50% единиц имеют значение признака не выше, чем Me (т.е. равно или меньше) и 50% не меньше, чем Me (т. е. равно или больше).
Рассмотрим порядок расчета средней арифметической, моды и медианы для различных вариационных рядов распределения.
1. Ранжированные ряды распределения.
Средняя арифметическая для ранжированного ряда рассчитывается по формуле простой средней арифметической.
Расчет Ме:
Ряд распределения состоит из нечетного числа членов (n).
В
этом случае необходимо найти №
признака, соответствующего медианному
значению:
.
Если совокупность содержит четное число членов, то находим два смежных номера №1 и №2, между которыми расположено значение медианы:
2. Дискретные вариационные ряды распределения.
Средняя арифметическая для таких рядов может рассчитываться по формулам средней арифметической взвешенной через частоту (4.18) или частость (4.23).
Определение модального значения признака не требует выполнения расчетов. Модальным принимается то значение, которое имеет наибольшую частоту или частость появления.
Для определения медианы необходимо рассчитать сумму накопленных частот. Медианой является то значение признака, при котором сумма накопленных частот в первый раз равна или больше половины объема совокупности.
3. Интервальные вариационные ряды распределения
Для расчета средней арифметической для таких рядов могут использоваться формулы расчета средней арифметической взвешенной через частоту (4.18), через частость (4.23) и для рядов с равными интервалами может быть применена формула условных моментов (4.21).
Определение значения моды предполагает выполнение следующих действий:
Нахождение модального интервала – тот интервал, который характеризуется наибольшей частотой появления признака.
Уточнение значения Мо, которое лежит в пределах данного интервала проводится по формуле:
, (5.1)
где xMo – нижняя граница модального интервала;
hMo – модальный интервал;
fMo – частота появления признака в модальном интервале;
f-1 – частота появления признака в интервале, предшествующем модальному;
f+1 – частота появления признака в интервале, следующем за модальным.
Расчет коэффициента можно проводить как через частоту, так и через частость:
. (5.2)
3) Проведение логического контроля полученного значения Мо (попадает ли полученное значение в модальный интервал).
Определение значения медианы предполагает выполнение следующих действий:
Нахождение суммы накопленных частот.
Нахождение медианного интервала. Им является тот интервал, в котором сумма накопленных частот в первый раз равна или больше половины объема совокупности.
Уточнение значения Ме по формуле:
, (5.3)
где xМе – нижняя граница медианного интервала;
= n
– объем совокупности;
hMe – медианный интервал;
S-1 – сумма накопленных частот в интервале, предшествующем медианному;
fMe – частота появления признака в медианном интервале.
4) Проведение логического контроля.
Кроме Mo и Me в вариантных рядах могут быть определены и другие структурные характеристики – квантили. Квантили предназначены для более глубокого изучения структуры ряда распределения.
Квантиль – это значение признака, занимающее определенное место в упорядоченной по данному признаку совокупности. Различают следующие виды квантилей:
квартили – значения признака, делящие упорядоченную совокупность на 4 равные части (рис. 5.4);
Рис. 5.4. Квартили распределения
квинтили – значения признака, делящие упорядоченную совокупность на 5 равных частей;
децили – значения признака, делящие совокупность на 10 равных частей;
перцентели - значения признака, делящие совокупность на 100 равных частей.
Значения квантилей определяются по формуле:
, (5.4)
где xQi − нижняя граница интервала, в котором находится i квантиль;
SQi −1 − сумма накопленных частот интервалов, предшествующих
интервалу, в котором находится i квантиль;
fQi − частота интервала, в котором находится i квантиль;
i – номер квантиля;
n = количество квантилей +1.
В ряду распределения выделяют 3 квартиля, 4 квинтиля, 9 децилей, 99 перцентелей.
Покажем формулы, использующиеся для расчета квартилей (n =3 +1=4):
- значение первого квартиля:
(5.5)
- значение второго квартиля:
(5.6)
- значение третьего квартиля:
(5.7)
Таким образом, для характеристики положения центра ряда распределения можно использовать 3 показателя: среднее значение признака, мода, медиана.
При выборе вида и формы конкретного показателя центра распределения необходимо исходить из следующих рекомендаций:
• для устойчивых социально-экономических процессов в качестве показателя центра используют среднюю арифметическую. Такие процессы характеризуются симметричными распределениями, в которых x = Me = Mo;
• для неустойчивых процессов положение центра распределения характеризуется с помощью Mo или Me. Для асимметричных процессов предпочтительной характеристикой центра распределения является медиана, поскольку занимает положение между средней арифметической и модой.