4.4. Средние показатели

Средние показатели (величины) представляют собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. При этом возможно, что ни одна из единиц совокупности не имеет данный уровень.

При определении средней для большой массы единиц начинает действовать закон больших чисел. При этом среднее отражает сущность изучаемого явления, а случайные причины, характеризующие особенности отдельных единиц и не связанные с сущностью данного явления, взаимопоглощаются.

Средние показатели находят самое широкое применение, а именно:

• при анализе и планировании;

• при характеристике вариации и оценке рисков;

• при выявлении взаимосвязей;

• при прогнозировании.

Средняя величина имеет то же наименование и те же единицы измерения, что и исследуемый признак.

При расчете средней необходимо выполнять ряд условий и требований:

1. Для того чтобы средняя правильно характеризовала совокупность необходимо, чтобы элементы, формирующие эту совокупность, обладали однородными свойствами и каким-то одним общим для всех элементов признаком (качественная однородность).

По всем другим признакам единицы или элементы совокупности могут сильно отличаться. Например, при вычислении средней урожайности необходимо, чтобы данные брались за один и тот же период, по одной и той же культуре или по группе культур (овощных или зерновых).

Необходимо учитывать, что средняя характеризует исследуемую совокупность, только если последняя является однородной. Если совокупность не однородна, то при расчете средней погашаются не только случайные отклонения, но и существенные различия. Средняя для неоднородной совокупности называется фиктивной.

2. Исследуемая совокупность должна состоять из большой массы явлений.

Средний показатель характеризует исследуемую совокупность по какому-то одному признаку, поэтому для всестороннего анализа необходимо использовать систему средних показателей, рассчитанных для наиболее существенных признаков. Например, анализировать в паре производительность труда и среднюю зарплату, при этом опережающими темпами должна расти производительность труда.

Различают два типа средних показателей:

• степенные средние

• структурные средние (Mо – мода, Me – медиана).

В статистическом анализе используют все виды средних, выбор вида зависит от целей исследования и характера исходной информации.

На практике более широко используются так называемые степенные средние, которые имеют следующую общую формулу для расчета:

(4.10),

– степенная средняя для исследуемого количественного признака;

– вариант (значение) признака у отдельной единицы совокупности;

n – количество единиц, входящих в совокупность (число вариант);

m – показатель степени средней.

Изменяя m мы получаем различные виды средних:

1. m = –1

– гармоническая (4.11)

2. m = 0

– геометрическая (4.12)

3. m = 1

– арифметическая (4.13)

4. m = 2

– квадратическая (4.14)

5. m = 3 и т.д.

(4.15)

Все вышеприведенные формулы используются в том случае, когда индивидуальные значения признака не повторяются в совокупности. Если значение какого-то признака x_i встречается у нескольких единиц, вводится понятие частоты повторения f_i этого признака. При этом, = n. В этом случае, степенная средняя рассчитывается по формуле степенной взвешенной:

(4.16)

Для одной и той же совокупности при изучении одного и того же признака, степенные средние разных видов имеют различные количественные значения. Между этими значениями существует постоянная связь.

Данное свойство называется свойством мажорантности.

Аналитик проводя исследование должен правильно выбрать вид степенной средней. Наиболее часто применяется средняя арифметическая; средняя геометрическая используется при анализе рядов динамики для расчета средних темпов развития исследуемого явления. Средняя гармоническая применяется в том случае, когда в исходных данных отсутствует частота повторения признака, но имеется информация о произведении признака на частоту его появления. Средняя квадратическая используется при оценке показателей вариации. Средняя кубическая, средняя четвертой степени используются при анализе рядов распределения.

Под средней арифметической подразумевают такое значение количественного признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы сумма всех значений признака была распределена между единицами совокупности равномерно.

Средняя арифметическая рассчитывается по формулам:

– простая средняя арифметическая (4.17)

– взвешенная средняя арифметическая (4.18)

Средняя арифметическая имеет ряд свойств, которые позволяют широко ее использовать в статистических исследованиях.

Выделяют сущностные и вычислительные свойства.

К сущностным относят:

1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной ( при =const).

2. Нулевое: Сумма отклонений вариант, как от простой, так и взвешенной средней арифметической равна нулю.

– при использовании простой средней арифметической;

– при использовании средней арифметической взвешенной.

3. Минимальное: Сумма квадратов отклонений вариант, как от простой, так и от взвешенной средней, всегда меньше квадратов отклонений вариант от любой произвольной величины A при : .

К вычислительным свойствам относятся:

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариант на соответствующие частоты: .

2. Если значение признака для каждой единицы совокупности уменьшить или увеличить на одно и то же число A, то среднее значение признака уменьшится или увеличится на это же число A.

– для простой средней арифметической;

– для средней арифметической взвешенной.

Соответственно для расчета средней арифметической можно использовать следующее выражение при уменьшении каждого варианта на А:

(4.19)

3. Изменение значения признака для каждой единицы совокупности в одно и то же число раз изменяет среднее значение признака в это же число раз: или .

Соответственно среднее значение признака в этом случае можно рассчитать по формулам:

или (4.20)

2 и 3 свойства используются для расчета средней арифметической способом условных моментов. Этот способ можно применять при исследовании рядов распределения с равными интервалами, при этом средняя арифметическая рассчитывается по формуле:

(4.21)

где m₁ – условный момент 1-го порядка:

m₁ (4.22)

h - величина интервала для рассматриваемого ряда распределения;

A - постоянная, которая характеризует значение признака с максимальной частотой появления или, которая соответствует значению признака, стоящего в центре ряда распределения.

4. Если все частоты разделить на постоянное число А, то средняя арифметическая останется без изменения: .

Если , то – частость (доля). →

(4.23)

Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической, при m = –1.

В том случае, когда исходная статистическая информация не содержит частот появления каждого варианта, а представлена, как значение признака и произведение признака на частоту. Среднее значение признака рассчитывается по формуле средней гармонической взвешенной:

(4.24)

где – вес.

В случае, когда для каждого признака или равны, то для расчета используется формула простой средней гармонической:

(4.25)