?1.Функция: область определения, множество значений функции, периодическая функция. Возрастающие, убывающие функции. Четные, нечетные функции. Элементарные функции (их графики и свойства). Сложная функция.

Функция (отображение, оператор, преобразование) — в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества.

Область определения функции — множество, на котором задаётся функция. Все допустимые (разрешённые) значения аргумента x.

Множество значений функции. Пусть задана функция у = f(x) с областью определения D(f). Множество чисел, пробегаемое функцией у, когда х принимает все возможные значения (т.е. при всех значениях  ), называется множеством значений функции, или областью значений функции, или областью изменения функции и обозначается через E(f).

Периодическая функция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (периода функции) на всей области определения.

Функция называется возрастающей в интервале, если больше значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции, то есть при дельта Х>0 приращение функции дельта У>0. Функция называется убывающей в интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции, то есть при дельта Х>0 приращение функции дельта У<0.

Нечётная функция — функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (график её симметричен относительно центра координат). Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (график её симметричен относительно оси ординат).

В школьном курсе математики изучаются следующие элементарные функции.
Название функции	Формула функции	График функции	Название графика	Комментарий
Линейная	y = kx		Прямая	Cамый простой частный случай линейной зависимости - прямая пропорциональность у = kx, где k ≠ 0 - коэффициент пропорциональности. На рисунке пример для k = 1, т.е. фактически приведенный график иллюстрирует функциональную зависимость, которая задаёт равенство значения функции значению аргумента.
Линейная	y = kx + b		Прямая	Общий случай линейной зависимости: коэффициенты k и b - любые действительные числа. Здесь k = 0.5, b = -1.  Подробнее.     К движению.
Квадратичная	y = x2		Парабола	Простейший случай квадратичной зависимости - симметричная парабола с вершиной в начале координат. Демо упражнения.
Квадратичная	y = ax2 + bx + c		Парабола	Общий случай квадратичной зависимости: коэффициент a - произвольное действительное число не равное нулю (a принадлежит R, a ≠ 0), b, c - любые действительные числа.  Подробнее.     К движению.
Степенная	y = x3		Кубическая парабола	Самый простой случай для целой нечетной степени. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций". К движению.
Степенная	y = x1/2		График функции  y = √x	Самый простой случай для дробной степени (x1/2 = √x). Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций". К движению √x. К движению 3√x.
Степенная	y = k/x		Гипербола	Самый простой случай для целой отрицательной степени (1/x = x-1) - обратно-пропорциональная зависимость. Здесь k = 1.
Показательная	y = ex		Экспонента	Экспоненциальной зависимостью называют показательную функцию для основания e - иррационального числа примерно равного 2,7182818284590...
Показательная	y = ax		График показательной функции	Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 2x (a = 2 > 1). К движению.
Показательная	y = ax		График показательной функции	Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 0,5x (a = 1/2 < 1).
Логарифмическая	y = lnx		График логарифмической функции	График логарифмической функции для основания e (натурального логарифма) иногда называют логарифмикой.
Логарифмическая	y = logax		График логарифмической функции	Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log2x (a = 2 > 1). К движению.
Логарифмическая	y = logax		График логарифмической функции	Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log0,5x (a = 1/2 < 1).
Синус	y = sinx		Синусоида	Тригонометрическая функция синус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций". К движению.
Косинус	y = cosx		Косинусоида	Тригонометрическая функция косинус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций". К движению.
Тангенс	y = tgx		Тангенсоида	Тригонометрическая функция тангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций". К движению.
Котангенс	y = сtgx		Котангенсоида	Тригонометрическая функция котангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций".

Обратные тригонометрические функции.
Название функции	Формула функции	График функции	Название графика	Комментарий
Арксинус	y = arcsinx		График арксинуса	Тригонометрическая функция обратная к  y = sinx. Определена на отрезке [−1; 1]. Принимает значения от −π/2 до π/2.
Арккосинус	y = arccosx		График арккосинуса	Тригонометрическая функция обратная к  y = cosx. Определена на отрезке [−1; 1]. Принимает значения от 0 до π.
Арктангенс	y = arctgx		График арктангенса	Тригонометрическая функция обратная к  y = tgx. Определена на множестве действительных чисел.  Принимает значения на интервале (−π/2; π/2). Имеет асимптоты.
Арккотангенс.	y = arcctgx		График арксинуса	Тригонометрическая функция обратная к  y = ctgx. Определена на множестве действительных чисел.  Принимает значения на интервале (0 π). Имеет асимптоты.

Сложная функция – функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = z(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.

В такой функции х – независимая, а у – промежуточная переменная. При этом сложная функция определена для тех значений независимой переменной, для которых значения промежуточной функции у входят в область определения функции z(y).

Производная дифференцируемой сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточной функции по независимому аргументу:

.

Эта формула легко распространяется на случай, когда у сложной функции имеется два, три и более промежуточных аргументов («цепное правило»): если z = f₁(y₁), y₁ = f₂(y₂), …, y_n-1 = f_n(x), то

2.Производная функции (определение, формула). Правила дифференцирования функций. Геометрический и физический смысл производной. Свойства производной. Производные высших порядков. Производная сложной функции.

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

y’ = f”(x) = lim (∆у/∆х)

Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Правила дифференцирования.

1. Константу можно выносить за знак производной.

(C*U(x))’ = C*U’(x), C = Const

2. Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций.

(U+V)’ = U’+V’

3. Производная произведения.

(U*V)’ = U`V+UV`

4. Производная деления.

(U/V)’ = (U’V-UV’/V²)

Физический смысл производной: это скорость протекания процесса в данной точке или мгновенная скорость изменения функции в данной точке. Если положение точки при её движении по числовой прямой задаётся функцией S = f(t), где t – время движения, то производная функции S – мгновенная скорость движения в момент времени t.

Геометрический смысл производной: это направление процесса в данной точке. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Свойства производной.

1. Производная алгебраической суммы дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Если Y(x) = U(x)+V(x)-W(x), то Y’(x) = U’(x)+V’(x)-W’(x)

2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

3. Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и производной второй функции на первую.

4. Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой равен разности произведений производной числителя на знаменатель и производной знаменателя на числитель, а знаменатель равен квадрату знаменателя исходной дроби.

5. Производная сложной функции. Если функция U = φ(x) имеет производную в точке х₀, а функция y = f(U) имеет производную в соответствующей точке U₀ = φ(x₀), то сложная функция f [φ(x)] имеет производную в точке х₀ и справедлива следующая формула: y’(x₀) = f’(U₀)* φ’(x₀). Таким образом при нахождении производной сложной функции необходимо ввести промежуточный аргумент U = φ(x), позволяющий свести данную функцию к виду основных элементарных функций f [φ(x)] = f(U), взять производную этой функции (в соответствии с таблицей производных), а затем умножить ее на производную от промежуточного аргумента.

Пусть     – некоторая дифференцируемая функция, производная от которой     также является дифференцируемой функцией. Производная функции     обозначается символическим выражением     и называется второй производной (или производной второго порядка) функции   :

Запись вида

позволяет указать в явной форме переменную, по которой выполняется дифференцирование функции. Однако такое обозначение является достаточно громоздким и поэтому обычно используется его сокращенная форма:

Производной  n-го порядка от функции     называется производная от производной (n - 1)-го порядка:

Верхний индекс n, заключенный в круглые скобки, указывает порядок производной. Например, пятую производную от функции  y  записывают в виде   . Для обозначения производных до третьего порядка включительно обычно предпочитают использовать штрихи:     или   . Если порядок производной   , то для его обозначения допускается использование римских цифр, например,

      Отметим также, что под производной нулевого порядка от функции     понимается сама функция   :

Другими словами, нулевое число преобразований функции означает ее неизменность.

Для нахождения производной  n-го порядка неявно заданной функции требуется последовательное вычисление всех ее производных более низкого порядка. Для примера рассмотрим уравнение

определяющее неявно заданную функцию  y(x).        Дважды дифференцируя это равенство, получим систему двух уравнений

Если из первого уравнения выразить производную  y'  и подставить полученный результат во второе уравнение, то останется лишь разрешить преобразованное второе уравнение относительно  y''.

3.Дифференциал функции: определение, формула, свойства, геометрический смысл. Нахождение дифференциала. Применение дифференциала для приближенных вычислений.

Опр. Дефферинциалом функции y-f(x) называется произведение производной этой функции на приращение ее аргумента dy=y’(x) * ∆ Х

Геометрический смысл дифференциала.

Дифферинциал функции y=f(x) в точке с абциссой х равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке при переходе из данной точки в точку с абциссой х+∆ х

Нахождение дифферинциала

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал ее аргумента

Применение диф в приближенных вычислениях: f( Х + ∆Х) = f(X) + f’(X) *∆ X

4.Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Геометрический смысл неопределенного интеграла. Свойства интеграла. Таблица интегралов. Методы вычисления.

Опр. Функция F(x)дифференцуруемая на интервале (а:в) называется первообраной функцией для функции f(x) на данном интервале, если для всех значений х, принадлежащих этому интервалу выполняется равенство F’(x) =f(x)

Общее выражение для всех первообразных F(x) +c существующих для данной функции f(x) называется неопределнным интегралоом от этой функции и обозначается след образом.:

ʃf(x) dx = F(x) +C

Геометрический смысл неопр интеграл

Пусть требуется найти кривую y=F(X) зная, что tg угла наклона касательной в каждой ее точке – заданная функция f(x) абсциссы этой точки. Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой y=F(x) равен значению производной F`(х). Значит, нам нужно найти такую функцию F(x), для которой F`(x)=f(x). Следовательно, задача свелась к основной задаче интегрального исчисления – к нахождению первообразной от данной функции

Свойства интегралла

Свойство 1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной³ функции (по определению)

. (2.1)

Свойство 2. Дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению

, (2.2)

т.е. если знак дифференциала стоит перед знаком интеграла, то они взаимно уничтожаются.

Свойство 3. Если знак интеграла стоит перед знаком дифференциала, то они взаимно уничтожаются, а к функции добавляется произвольная постоянная величина

.

Свойство 4. Разность двух первообразных одной и той же функции есть величина постоянная.

Свойство 5. Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла

Таблица простейших неопределённых интегралов

1. , где , (2.7)

2. , где , (2.8)

3. , (2.9)

4. , где , , (2.10)

5. , (2.11)

6. , (2.12)

7. , (2.13)

8. , (2.14)

9. , (2.15)

10. . (2.16)

Методы интегрирования

1.замена переменной

2.разложение

3. интегрирование по частям

5.Определенный интеграл. Геометрический и физический смысл определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Методы интегрирования.

6.Дифференциальные уравнения: определение, порядок дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Этапы решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

7.Теория вероятностей. Случайное событие. Виды случайных событий. Вероятность случайного события. Теоремы сложения и умножения вероятностей случайных событий. Формула полной вероятности. Теорема Байеса.

Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Случайное событие – всякий факт, который в результате опыта может произойти и может не произойти.

Виды случайных событий:

А)несовместимые. К ним относятся такие, которые не могут происходить в одном испытании или эксперименте.

Б). события совместимые. К ним относятся такие, которые могут протекать одновременно.

В) полная группа событий. В неё входят такие события, одно из которых проявляется при эксперименте.

Г).события равновозможные – вероятность свершения одного события равна шансам свершения другого события и т.д. Так шансы на большее количество «решек» равны шансам выпадения большего количества «орлов».

Вероятность случайного события А (обозначается Р(А)) –это число, которое говорит нам о степени возможности наступления события А .

Существуют два определения вероятности: классическое и статистическое, каждое из них имеет свои достоинства и недостатки.

Классическое определение вероятности.

Вероятность события А – это отношение числа исходов, благоприятствующих данному событию (m), к общему числу всех несовместных и равновозможных исходов данного опыта (n).

Если А – случайное событие, то

 

Если А – достоверное событие, то

 

Если А – невозможное событие, то

 

Пример: при бросании кубика возможно 6 исходов  

Событие А: выпадет четное число. Число исходов, благоприятствующих событию А, m=3. 

Достоинства: можно вычислить вероятность не производя испытания.

Недостатки: 

1) не всегда известно число исходов опыта,

2) часто невозможно представить результат испытаний в виде равновозможных и несовместных событий.

Поэтому на практике часто пользуются статистическим определением вероятности.

Статистическое определение вероятности.

Пусть А – случайное событие, опыт проводился n раз, в результате опыта событие А произошло m раз, тогда m- частота наступления события А, а величина   называется относительной частотой события А.

Для разных n ,   могут заметно отличаться, но если проводим длинную серию опытов, т.е.   , то   к некоторому пределу.

Статистической вероятностью события А называется предел, к которому стремится его относительная частота   , при неограниченном увеличении числа испытаний.

 

Пример: среди 1000 новорожденных 517 мальчиков. Найти относительную частоту рождения мальчиков.   , тем не менее, известно, что 

Так как вероятность – это число   следовательно, с этими числами можно производить арифметические действия.

 Теоремы сложения и умножения вероятностей случайных событий

 

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

 

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

 

В случае, когда события А и В совместны, вер-ть их суммы выражается формулой

Р (А +В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ),

где АВ – произведение событий А и В.

Теорема  умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вер-ти одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) · Р(А/В).

 

Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых  событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В)

Формула полной вероятности:

Р(А)=Р(H1)*P(A/H1)+P(H2)*P(A/H2)+P(Hn)*P(A/Hn)

Теорема Байеса (или формула Байеса) — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность какого-либо события при условии, что произошло другое статистически взаимозависимое с ним событие. 

Р(Н1/A)=(P(H1)*P(A/H1))/P(A) - ФОРМУЛА БАЙЕСА.

8.Случайные величины. Функция и плотность распределения случайной величины

Случайная величина – величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестное заранее какое именно.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), равная вероятности того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х:

F(x)= P(X<x).

Геометрический смысл функции распределения таков: F(x) есть вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, которое на числовой оси лежит левее точки х.

Свойства функции распределения:

1.                  Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1]:

0£F(x)£1.

         Действительно, F(x)= P(X<x), а вероятность P(X<x)Π[0, 1].

2.                  F(x)  – неубывающая функция, т.е.

если  > , то F( )³F( ).

Плотностью распределения случайной величины непрерывного типа называется производная функции, если она существует: f(x)=F’(x)

9.Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, мода, медиана, асимметрия, эксцесс (формулы для дискретных и непрерывных случайных величин, единицы измерения).

10.Законы распределения случайных величин (биномиальный, Пуассона, нормальный закон). Правило 3-сигм.

11.Математическая статистика. Основные понятия математической статистики: выборка, генеральная совокупность, вариационный ряд, объём выборки, простой статистический ряд, интервальный статистический ряд, полигон частот, гистограмма.

Математическая статистика — раздел математики, разрабатывающий методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений.

Выборка или выборочная совокупность — часть генеральной совокупности элементов, которая охватывается экспериментом (наблюдением, опросом).

Характеристики выборки:

• Качественная характеристика выборки — что именно мы выбираем и какие способы построения выборки мы для этого используем.

• Количественная характеристика выборки — сколько случаев выбираем, другими словами объём выборки.

Необходимость выборки:

• Объект исследования очень обширный. Например, потребители продукции глобальной компании — огромное количество территориально разбросанных рынков.

• Существует необходимость в сборе первичной информации.

Генеральная совокупность – это совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений определенной случайной величины.

Вариационный ряд — это упорядоченное распределение единиц совокупности чаще по возрастающим (реже убывающим) значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным значением признака. Когда численность единиц совокупности большая, ранжированный ряд становится громоздким, его построение занимает длительное время.

Объём выборки — число случаев, включённых в выборочную совокупность.

Выборки можно условно разделить на большие и малые, так как в математической статистике используются различные подходы в зависимости от объёма выборки. Считается, что выборки объёма больше 30 можно отнести к большим

Простой статистический ряд - значения исследуемого признака, записанные для всех элементов выборки в том порядке, в котором они были получены.

В случае, когда число значений признака Х велико или признак является непрерывным, составляют интервальный ряд. Опр. Интервальный статистический ряд содержит в качестве значений интервалы (могут быть равными или неравными) и частоты значений, попадающих в этот интервал.

Полиго́н часто́т (в математической статистике) — один из способов графического представления плотности вероятности случайной величины.

Гистогра́мма в математической статистике — это функция, приближающая плотность вероятности некоторого распределения, построенная на основе выборки из него.