4.3 Работа и кинетическая энергия вращающегося тела

Пусть на твёрдое тело действует сила . Можно показать, что вращающий момент оси создаёт только составляющая силы , касательная к траектории точки её приложения. За время тело поворачивается на бесконечно малый угол и точка приложения силы проходит путь (рис.4.5). Вектор направлен по касательной к дуге , поэтому работа силы определяется выражением:

. (4.9)

Кинетическая энергия вращающегося тела определяется суммой кинетических энергий его элементарных объёмов, которая с учётом

Рис.4.5 Определение работы вращающегося тела

выражения ( ), равна: (4.10) В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения: , (4.11) где – масса скатывающегося тела;

– скорость центра масс тела;

– момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс;

– угловая скорость вращения.

4.4 Основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела

При повороте тела под действием силы на бесконечно малый угол работа силы (4.9) идёт на увеличение кинетической энергии (4.10) тела

,

или .

Откуда

или (4.12)

Это основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси: угловое ускорение тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, прямо пропорционально моменту приложенной силы относительно этой оси и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно этой же оси.

Из (4.12) следует, что если момент внешних сил не изменяется ( ), то при постоянном моменте инерции тела ( ) угловое ускорение . Следовательно, под действием постоянного момента сил тело вращается равнопеременно. В частности, если =0, то и - тело вращается равномерно.

4.5 Момент импульса и закон его сохранения

Рассмотрим малый элемент твёрдого тела - материальную точку массой . Её скорость и, соответственно, импульс направлены по касательной к траектории точки (окружности радиусом ).

Рис.4.6 Определение момента импульса

Вектором момента импульса материальной точки относительно неподвижной точки называется физическая величина, определяется векторным произведением: . (4.13) Вектор проходит через точку , его направление определяется правилом векторного произведения векторов, а модуль равен: (4.14)

Вектор момента импульса материальной точки относительно оси , представляет собой проекцию на эту ось вектора . Он лежит на оси вращения и не имеет определённой точки приложения, его модуль определяется выражением

(4.15)

Вектор момента импульса твёрдого тела относительно равен сумме векторов всех его точек. Все векторы лежат на оси вращения и направлены в одну сторону, поэтому и результирующий вектор лежит на оси , его модуль равен:

. (4.16)

Уравнение (4.16) можно записать в векторной форме:

. (4.17)

Продифференцировав (4.17) по времени (при ) с учётом (4.12), получим:

. (4.18)

Это ещё одна форма записи основного уравнения динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: производная по времени от момента импульса твёрдого тела относительно оси вращения равна моменту внешних сил , действующих на тело, относительно той же оси.

Последнее уравнение можно записать в виде:

(4.19)

изменение момента импульса вращающегося тела происходит под действием импульса момента внешних сил, действующих на него.

В замкнутой системе момент внешних сил равен нулю. Поэтому

и (4.20)

Это выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы относительно неподвижной оси сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Это фундаментальный закон природы. Он является следствием изотропности пространства, т. е. отсутствия выделенных направлений, обладающих особенными свойствами. Поворот замкнутой системы как целого не изменяет её механических свойств.

Поскольку , то для замкнутых систем произведение

(4.21)

Это значит, что если момент инерции тела не изменяется ( ), то тело вращается с постоянной скоростью ( ). Если величина изменяется, то и величина тоже должна изменяться. Если увеличивается, то должна уменьшаться и наоборот.

Качественным подтверждением закона сохранения момента импульса может служить опыт со скамьёй Жуковского (рис.4.7) - горизонтальной площадкой имеющей

форму круга и свободно вращающейся без трения вокруг вертикальной собственной оси. Человек с гирями в разведённых руках находится на скамье, вращающейся со скоростью . Пусть момент инерции человека и скамьи равен . Когда человек приблизит грузы к оси вращения, момент инерции уменьшается до . Это приведёт к увеличению угловой скорости до , в соответствии с равенством (4.13)

.

Рис. 4.7 Подтверждение закона В табл. 4.2 приведены основные величины и

сохранения момента импульса, уравнения, описывающие поступательное

движение тела и его вращение вокруг неподвижной оси.

Таблица 4.2

Поступательное движение		Вращательное движение
Масса			Момент инерции
Сила			Момент силы	; ;
Импульс			Момент импульса	;
Основное уравнение динамики			Основное уравнение динамики
Работа			Работа
Кинетическая энергия			Кинетическая энергия

Контрольные вопросы:

1. Что называется моментом импульса материальной точки, твёрдого тела? Как определяется направление момента импульса?

2. Сформулируйте закон сохранения момента импульса. В каких системах он выполняется? Приведите примеры.

3. Могут ли внутренние силы изменить момент импульса тела или системы тел? Могут ли они изменить состояние механического движения внутри системы?

Литература:

Осн. 1 [125-130], 2 [52-55], 3 [66-74].

Доп. 12 [34-36].

Лекция 5. Элементы специальной теории относительности. Постулаты Эйнштейна. Релятивистский закон сложения скоростей. Релятивистское преобразование импульса и энергии

Классическая механика оказалась неприменимой к движению тел, скорость которых близка к скорости света с. Движение таких тел описывается механикой теории относительности (релятивистской механикой), основанной на двух постулатах Эйнштейна:

1. Все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой.

2. Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчёта и не зависит от движения источников и приёмников света.

Постулаты Эйнштейна образуют основу специальной теории относительности. Из них вытекает ряд важных следствий, а именно:

1. сокращение размеров

,

2. увеличение массы

,

3. замедление времени

,

4. правило сложения скоростей

,

5. энергия светового луча

,

где нулевые компоненты соответствуют значениям физических величин в неподвижной системе отсчёта. Экспериментальные подтверждения этих следствий и являются обоснованием самих постулатов - обоснованием теории относительности.

Постулаты Эйнштейна приводят к выводу о том, что отсчёт времени имеет относительный характер, что в различных системах время течёт неодинаково. Исследуя вопрос о преобразованиях, позволяющих перейти от одной системы отсчёта к другой, Эйнштейн нашёл, что в согласии с его постулатами находятся так называемые преобразования Лоренца:

, , , . (5.1)

Следует отметить, что преобразования Лоренца при малых скоростях, т.е. при совпадают с преобразованиями Галилея. Действительно, если соотношение (5.1) преобразуется в выражения.

, , , . (5.2)

Следовательно, преобразования Галилея являются предельным случаем преобразований Лоренца при . Преобразования Лоренца выражают зависимость координат и времени в системах К и К. Можно эти преобразования записать в такой форме, чтобы координаты и время системы К были выражены через координаты и время в штрихованной системе отсчёта. Опуская выкладки, запишем конечный результат

, , , . (5.3)

Элементы релятивисткой динамики

Первый постулат Эйнштейна явился обобщением механического принципа относительности. Применим его к законам механики. Зависимость импульса от скорости оказывается более сложной, чем это предполагается в ньютоновской механике

. (5.4)

Величина кинетической энергии определяется как разность между энергией движущего тела и энергией покоящегося тела

. (5.5)

Лишь в предельном случае , разлагая в ряд

и пренебрегая членами ряда, более высокими степенями, чем два, будем иметь

.

Как видно из изложенного, постулаты Эйнштейна привели к пересмотру укоренившихся представлений о независимости массы от скорости, к установлению связи между массой и энергией.

Литература:

Осн. 1 [125-130], 2 [52-55], 3 [66-74].

Доп. 12 [34-36].

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте постулаты специальной теории относительности Эйнштейна.

2. Запишите следствия СТО.

Лекция 6