4.1 Момент силы

Для приведения тела во вращение необходимо, чтобы приложенная к нему сила создавала момент. Моментом силы относительно неподвижной точки (рис.4.2) называется вектор

, (4.1)

где - радиус-вектор точки приложения силы. Вектор проходит через точку . Он перпендикулярен плоскости рисунка и направлен «к нам».

Рис.4.2 Момент силы

М одуль момента силы определяется выражением:

(4.2)

где - плечо силы (длина перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы). При вращении тела вокруг неподвижной оси (рис.4.3) вращательный момент создаёт только одна составляющая действующей на него силы, а именно

Рис.4.3 Вращение тела вокруг неподвижной оси

- касательная к траектории точки её приложения. Следовательно, вектор момента силы относительно начала координат равен (4.3) Направление вектора указано на рисунке. Его модуль равен: . (4.4) Вектор момента силы относительно

оси (рис.4.3) представляет собой проекцию на эту ось вектора . Он направлен вдоль оси , не имеет определённой точки приложения, его модуль равен

_(4.5)

где – расстояние от оси до линии действия силы .

4.2 Момент инерции тела

Момент инерции тела – величина, определяющая его инертность во вращательном движении.

В динамике поступательного движения инерцию тела полностью характеризует его масса. Влияние собственных свойств тела на динамику вращательного движения оказывается более сложным, чем при поступательном движении.

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения равен произведению массы точки на квадрат расстояния от точки до этой оси:

. (4.6)

Момент инерции тела относительно оси вращения равен сумме моментов инерции всех его материальных точек относительно этой оси:

. (4.7)

Следовательно, на инертность тела во вращательном движении влияют форма и геометрические размеры тела, его расположение относительно оси вращения, особенности распределения массы по объёму.

В табл. 4.1 приведены моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы, выполненных из однородных материалов:

Таблица 4.1

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиуса	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной	Ось проходит через середину стержня перпендикулярно ему
Шар радиусом	Ось симметрии

Для расчёта момента инерции тела относительно произвольной оси, не проходящей через центр масс, применяют теорему Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, параллельно данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями

. (4.8)

Рис.4.4 Однородный тонкий стержень

Например, момент инерции однородного тонкого стержня (рис.4.4) длиной и массой относительно оси , перпендикулярной стержню и проходящей через его конец, равен:

При переносе оси вращения из центра масс в конец стержня его момент инерции увеличился в 4 раза.

Литература:

Осн. 1 [99-125], 2 [41-47], 3 [56-66].

Доп. 12 [31-34].

Контрольные вопросы:

1. Какова роль момента инерции тела во вращательном движении и от чего зависит его величина?

2. Что называется моментом силы относительно неподвижной точки? Относительно неподвижной оси? Как определяется направление момента силы?

3. Сопоставьте основные уравнения динамики поступательного и вращательного движений, прокомментируйте их аналогию.

4. Запишите и прокомментируйте теорему Штейнера.