10.4 Теорема Карно

Экономичность цикла теплового двигателя характеризует термический коэффициент полезного действия ( ) – величина, равная отношению работы , совершенной в обратимом цикле, к количеству теплоты , сообщенному в этом процессе рабочему телу нагревателем. Следовательно, КПД двигателя, работающего по циклу Карно,

. (10.2)

После некоторых преобразований формулу для КПД двигателя Карно можно привести к виду:

. (10.3)

Обобщая эти две формулы, имеем:

. (10.4)

Следовательно, при . Так как абсолютный нуль не достижим, то (всегда). Тепловая машина Карно – идеальная машина. Все процессы в ней проводились медленно, а значит, обратимо. Не приводились в контакт тела, имеющие разные температуры, поэтому не было необратимых потерь энергии на теплопроводность. Реальные машины, работе которых сопутствуют необратимые потери энергии, имеют еще меньший . Следовательно,

(10.5)

На основании вышеизложенного формулируется теорема Карно, которая содержит три положения:

1) цикла Карно зависит только от температуры нагревателя и холодильника;

2) не зависит от рабочего тела (для идеального газа легче считать , т. к. для него известно уравнение состояния);

3) машины, работающие по обратимому циклу экономичнее машин, работающих по необратимому циклу

10.5 Неравенство Клаузиуса

Согласно теореме Карно,

или .

Следовательно,

или .

Умножим обе части последнего неравенства на дробь , получим

или или ,

где – теплота, отданная холодильнику; – теплота, принимаемая рабочим телом от холодильника. Отношение количества теплоты, полученного системой от какого-либо тела, к температуре этого тела , Клаузиус назвал приведённым количеством теплоты.

Последнее неравенство, называется неравенством Клаузиуса: сумма элементарных приведённых количеств теплоты, полученных системой в ходе цикла извне, равна нулю, если цикл обратим и меньше нуля, если необратим:

. (10.6)

10.6 Энтропия

Пусть – элементарное количество теплоты, сообщаемое нагревателем системе при малом изменении ее состояния, а – температура нагревателя. Если процесс обратим, то температура системы тоже равна . Обозначим через элементарное приведённое количество теплоты в обратимом процессе:

, (10.7)

где – энтропия. Можно показать, что энтропия является функцией состояния системы, в отличие от теплоты , являющейся функцией процесса.

10.6.1 Свойства энтропии

1) По характеру изменения энтропии можно судить о направлении процесса теплообмена. Действительно, из (2.3.7) следует, что и имеют один и тот же знак. Следовательно, если энтропия системы возрастает ( ), значит, ей сообщили какое-то количество теплоты ( ); если энтропия убывает ( ), значит, у неё отобрали теплоту ( ).

2) В термодинамике доказывается, что энтропия изолированной системы может только возрастать, если в ней протекают необратимые процессы, или оставаться постоянной, если процессы обратимы. Убывать энтропия не может:

. (10.8)

3) Обратимый адиабатный процесс является изоэнтропным (он протекает без изменения энтропии).

Цикл Карно, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, можно рассматривать как цикл, состоящий из двух изотерм и двух изоэнтроп. На диаграмме (рис.10.5) он изображается в виде прямоугольника, стороны которого параллельны осям координат. Из формулы следует, что теплота , полученная системой от нагревателя при протекании изотермического процесса _{1 – 2}, равна:

, (10.9)

Р ис.10.5 Работа в цикле Карно

где – энтропия системы в начале процесса, – энтропия в конце процесса. Теплота , отданная холодильнику в изотермическом процессе 3 - 4, равна . (10.10) Общее количество теплоты, полученной системой за цикл ,(10.11) определяется площадью прямоугольника, заштрихованного на рисунке.

4) В табл.10.1 приведены выражения для изменения энтропии в различных процессах перехода идеальных газов из состояния 1 в состояние 2.

Таблица 10.1

Изохорный ( )	Изобарный ( )	Изотермический ( )	Адиабатный ( )
,

Они выведены из формулы

,

(10.12)

которая получена из выражения для изменения энтропии в равновесных процессах:

,

где , .

Для вывода формулы использованы выражения: и .

5) Энтропия является мерой связанной энергии.

_{В обратимом изотермическом процессе работа совершается за счёт убыли свободной энергии} системы

или

, (10.13)

где – свободная энергия системы (энергия Гельмгольца).

Величина представляет собой ту часть внутренней энергии системы, которая не может быть превращена в работу в обратимом изотермическом процессе. Это как бы «обесцененная» часть внутренней энергии, которую часто называют связанной энергией. При одной и той же температуре величина связанной энергии тем больше, чем больше энтропия системы.

6) Энтропия является мерой вероятности состояния термодинамической системы.

Термодинамическая вероятность состояния системы определяется количеством способов реализации этого состояния. Или, иначе говоря, вероятность определённого макросостояния равна числу всевозможных микросостояний (микрораспределений частиц по координатам и скоростям, соответствующих данному состоянию), которыми оно может быть осуществлено. Термодинамическая вероятность , поэтому она не является вероятностью в математическом смысле, которая меньше единицы.

Больцман доказал, что между величиной термодинамической вероятности системы и величиной её энтропии существует зависимость, которая называется формулой Больцмана:

(10.14)

энтропия какого-либо состояния системы определяется логарифмом числа микросостояний, которыми это состояние может быть реализовано.