7.6 Уравнение плоской бегущей волны

Уравнение волны описывает зависимость смещения колеблющейся частицы от координат и времени :

. (7.22)

Р ис.7.8

Пусть точки, расположенные в плоскости , совершают колебания по закону . В точке (рис.7.8), расположенной на расстоянии от источника , колебания частиц среды будут происходить по тому же закону, но с отставанием по времени на (где - скорость распространения волны):

_. (7.23)

Так как точка была выбрана произвольно, то уравнение (7.23) позволяет определить смещение любой точки среды, вовлечённой в колебательный процесс, в любой момент времени, поэтому называется уравнением плоской бегущей волны. В общем случае оно имеет вид:

(7.24)

где - амплитуда волны; – фаза плоской волны; – циклическая частота волны; – начальная фаза колебаний. Подставляя в это уравнение выражения для скорости ( ) и циклической частоты ( ), получим:

(7.25)

Если ввести волновое число , то уравнение плоской волны можно записать в виде:

. (7.26)

7.7 Стоячая волна

Большой практический интерес представляет наложение двух плоских волн

и , (7.27)

с одинаковыми частотами и амплитудами , распространяющихся навстречу друг другу вдоль оси . Сложив эти уравнения, получим уравнение результирующей волны, называемой стоячей волной

. (7.28)

Амплитуда стоячей волны

(7.29)

является периодической функцией координаты и не зависит от времени.

В точках среды, где , амплитуда волны достигает максимального значения ( ). Такие точки называются пучностями стоячей волны. В точках среды, где , амплитуда волны обращается в ноль ( ). Такие точки называются узлами ( ) стоячей волны. Координаты пучностей и узлов

и . (7.30)

Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседними пучностями одинаковы и равны половине длины бегущей волны. Эту величину называют длиной стоячей волны . Характеристики бегущей и стоячей волн приведены в табл. 7.1.

Таблица 7. 1

В бегущей волне	В стоячей волне
Амплитуда колебаний
Все точки среды колеблются с одинаковыми амплитудами	Все точки среды колеблются с разными амплитудами
Фаза колебаний
Фаза колебаний зависит от координаты рассматриваемой точки	Все точки между двумя узлами колеблются в одинаковой фазе . При переходе через узел фаза колебаний изменяется на .
Перенос энергии
Энергия колебательного движения переносится в направлении распространения волны.	Переноса энергии нет, лишь в пределах происходят взаимные превращения энергии.

Литература:

Осн. 1[176-235], [298-333], 3 [86-114]

Доп. 12[219-254]

Контрольные вопросы:

1. Определения гармонического колебания, амплитуды, фазы, периода, циклической частоты колебания.

2. Выведите формулы для скорости и ускорения гармонически колеблющейся точки.

3. Какие виды маятников вам известны? В чём их отличия?

4. Выведите и прокомментируйте формулы для кинетической, потенциальной и полной энергии точки при гармонических кол

Лекция 8