7.3 Затухающие колебания

Затуханием колебаний называется постепенное их ослабление с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой главным образом из-за трения.

В вязкой среде на колеблющуюся систему кроме квазиупругой силы действует ещё сила сопротивления, которая при малых скоростях пропорциональна скорости ( – коэффициент сопротивления).

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид:

или или , (7.16)

где – циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же системы (при ), – коэффициент затухания.

В случае малых затуханий ( ) решение этого уравнения имеет вид:

. (7.17)

График этой функции приведён на рис.7.5 сплошной линией. Амплитуда колебаний (показана пунктиром) уменьшается со временем по экспоненциальному закону.

Промежуток времени , за которого амплитуда уменьшается в раз, называется временем релаксации. Период затухающих колебаний равен , (7.18) где – частота затухающих колебаний.

Р ис.7.5 Затухающие колебания

7.4 Вынужденные колебания

Для получения в реальной колебательной системе незатухающих колебаний необходимо потери энергии компенсировать с помощью периодически действующего фактора, изменяющегося по гармоническому закону . При механических колебаниях таким фактором является вынуждающая сила .

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы имеет вид:

или , (7.19)

где – циклическая частота свободных незатухающих колебаний;

– коэффициент затухания; .

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Можно показать, что частное решение имеет вид , где и задаются формулами

и . (7.20)

Амплитуда вынужденных колебаний максимальна при частоте , которая называется резонансной частотой . Если , то все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению , называемому статическим отклонением.

Если , то все кривые асимптотически стремятся к нулю. Если , т.е. затухания колебаний нет, то , и амплитуда при этом становится бесконечно большой. В реальных системах , амплитуда достигает своего максимального значения и остаётся конечной. На рис. 7.6 совокупность кривых называется резонансными кривыми.

7 .5 Механические гармонические волны

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом (или волной). Механическими (упругими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

Рис.7.6 Резонансные кривые

Различают поперечные и продольные волны. В поперечной волне частицы среды колеблются перпендикулярно направлению её распространения, в продольной волне – вдоль него. На рис.7.7 представлен процесс образования поперечной волны, распространяющейся вдоль оси . На каждой строчке показано положение нескольких частиц в выбранный момент времени. Частицы волны движутся вверх и вниз около равновесного положения. Волна не «бежит» в направлении распространения, происходит только передача колебательного движения и его энергии. Основным свойством всех бегущих волн является перенос энергии без переноса вещества.

Длиной волны называется расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе. Это расстоянию, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний : , (7.21) где – скорость распространения волны; – частота колебаний. При распространении волнового процесса колеблется вся совокупность частиц, заключенных в некотором объёме.

Р ис.7.7 Поперечная волна

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени , называется фронтом волны (волновым фронтом). Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновые поверхности могут иметь любую форму. В простейших случаях это плоскость или сфера. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне – множество концентрических сфер.