7 .1 Механические гармонические колебания и их характеристики

Механические колебания материальной точки называются гармоническими, если её смещение из положения равновесия изменяется со временем по закону косинуса (синуса)

_, (7.1)

Рис.7.1 Гармонические колебания. Графики изменения перемещения, скорости и ускорения

где – амплитуда колебаний (максимальное смещение точки из положения равновесия); – фаза колебания в момент времени ; – круговая (циклическая) частота; – начальная фаза колебаний в момент времени . Скорость и ускорение точки (рис.7.1) , (7.2) (7.3) совершают гармонические колебания с той же частотой , что и . Их амплитуды соответственно равны и . Фаза скорости опережает фазу смещения на , смещение и ускорение находятся в противофазе.

Уравнение (7.3), записанное как

(7.4)

является дифференциальным уравнением механических гармонических колебаний с решением вида (7.1).

7.2 Энергия точки, совершающей гармонические колебания

Сила, действующая на колеблющуюся материальную точку массой

, (7.5)

пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению, т. е. к положению равновесия. Она называется квазиупругой силой, которая является консервативной. Поэтому при гармонических колебаниях полная энергия системы остаётся постоянной – кинетическая энергия переходит в потенциальную и обратно.

Кинетическая, потенциальная и полная энергии материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равны

; (7.6)

; (7.7)

. (7.8)

7.3 Гармонический осциллятор

Гармоническим осциллятором называется система, закон движения которой описывается уравнением вида (7.4). Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники.

Р ис.7.2 Пружинный маятник

Пружинный маятник (рис.7.2) - груз массой , подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий колебания под действием квазиупругой силы: ( - жёсткость пружины). Закон движения маятника имеет вид: или . (7.9) Из сравнения уравнений (7.9) с (7.4) следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по

закону , циклическая частота и периодом которых равны:

и . (7.10)

Физический маятник (рис.7.3) - твёрдое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси 0, не проходящей через его центр масс . При малых углах отклонения маятника от положения равновесия составляющая силы тяжести создаёт момент возвращающей силы (7.11) где - длина физического маятника. Подставим это выражение в основной закон динамики

Р ис.7.3 Физический маятник

вращательного движения, получим:

или (7.12)

где – момент инерции маятника относительно оси вращения.

Это уравнение по виду совпадает с законом движения гармонического осциллятора. Следовательно, физический маятник совершает гармонические колебания с параметрами:

; , (7.13)

где длина называется приведённой длиной физического маятника

(7.14)

Рис.7.4 Математический маятник

Математический маятник (рис.7.4) - материальная точка массой , подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити длиной и колеблющаяся под действием силы тяжести без трения. Его можно рассматривать как частный случай физического маятника. Для определения периода колебаний математического маятника в (7.13) внесем момент инерции J материальной точки относительно оси, проходящей через точку O ( ):

(7.15)

Сопоставление формул (7.13) и (7.15) показывает, что данный физический маятник будет иметь такой же период, что и математический маятник длиной . Поэтому приведённая длина физического маятника – это длина такого математического маятник, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.