3. Вычислительная полнота множества констант языка бестиповых регулярных схем -отношений основной универсальной сигнатуры.

Результат получен в форме теоремы:

Теорема 1.13. Любая вычислимая функция представима (с точностью до кодирования) множеством констант бестипового регулярного языка схем-отношений при условии его интерпретации на любом носителемощности.

Cогласно тезису А.А.Маркова, существует вычисляющий нормальный алгорифм : для всех, если, то– результат примененияк; еслине определено, тоне применим к. Не ограничивая общности, можно считать, что– челночный алгорифм с множеством «челноков»: правосторонних и левосторонних,, причем подстановки в схемах челночных алгорифмов имеют вид:

(последняя подстановка в схеме),

(заключительная подстановка),

, для .

Преобразуем челночный алгорифм так, что для исходных челноков подстановки с левыми частями вида иприменимы только в случаях, когда челнок является первой или, соответственно, последней буквой в слове. С этой целью для каждого правостороннего челнока(для левосторонних челноков построения, с учетом ориентации, аналогичны) введем дополнительно подстановки для всех, таких, что в исходной схеме не было подстановки вида( и далее для этих полагаем ), и подстановку, где– новый левосторонний челнок. Если в схеме была подстановка, то заменим ее на подстановку. Эквивалентность полученной схемы подстановок исходной очевидна.

Пусть – алфавит с нумерованными буквами,– номер буквы;– носитель,,– два произвольно выбранных элемента носителя,.

Определение 1.1. Кортеж назовемкодом буквы . Кортежназовемкодом слова . Код слова определен так, что по нему однозначно восстанавливается само слово.

Теперь мы можем по преобразованной схеме алгорифма построить бестиповое регулярное комбинаторное-отношение, такое, чтоэквивалентно тому, что– результат применениякпри оговоренном ранее условии, что носительсодержит хотя бы два разных элемента. С этой целью определим несколько вспомогательных-отношений.

Пусть – буква объединенного алфавита, где– множество челноков модифицированного алгорифма,– номер буквы в этом алфавите. Тогда

;

–обратное -отношение ;

;

для всех .

Нетрудно проверить, что

;

(графические представления констант ипоказаны на рис. 1.5),

;

.

Окончательнополучим:

.

Так как все соединенные знаком элементы операнда последовательной итерации и формула, связанная с этой итерацией через операцию последовательной композиции, попарно ортогональны, то индукцией по количеству шагов при «раскручивании» последовательной итерации легко установить искомое соответствие процессу применения заданного алгорифма.

Литература

1. Фальк В.Н. Исследование эквивалентности схем программ средствами языка схем отношений // Программирование, 1982. №6.

2. Фальк В.Н. Языки схем отношений // Формальные модели параллельных вычислений. Новосибирск, 1988.

3. Кутепов В.П., Фальк В.Н. Направленные отношения: теория и приложения // Изв. РАН. Техническая кибернетика, 1994. №4,5.

4. Фальк В.Н. Бестиповые регулярные схемы направленных отношений // Изв. РАН. Теория и системы управления, 1998. №5.

5. Фальк В.Н. FLOGOL – входной язык системы функционально-логического программирования // Сб. науч. статей к НТК МИРЭА (ТУ).1998.

6. Кутепов В.П., Фальк В.Н. Теория направленных отношений и логика // Изв. РАН. Теория и системы управления, 2000. №5.

7. Фальк В.Н. Теория направленных отношений и ее приложения // Автореф. дисс. … докт. техн. наук. -М: МЭИ. -2001.-40 с.

8. Бебчик Ал.М., Бебчик Ан.М., Фальк В.Н. Система функционально-логического программирования S-FLOGOL // Труды IX-ой национальной конференции по искусственному интеллекту с международным участием КИИ-2004. Том.1. М.:Физматлит, 2004. –С. 210–217.

9. Бебчик Ал.М., Бебчик Ан.М., Фальк В.Н. Инструментальные средства разработки и отладки программ системы функционально-логического программирования S-FLOGOL // Труды IX-ой национальной конференции по искусственному интеллекту с международным участием КИИ-2004. Том.1. М.:Физматлит, 2004. –С. 896–901.