3. Языки схем -отношений.

Общие принципы построения языков схем -отношений традиционны для задания интерпретированных формальных языков и предполагают задание области интерпретации, символов элементарных констант и переменных, связок и операторов. Связки используются в языке для обозначения результатов применения операций, определенных на области интерпретации, и имеющих каждая определенную положительную арность. В связи с этим, константы иногда могут рассматриваться как связки нулевой арности. Применительно к построению языков схем-отношений эти принципы конкретизируется нижеcледующим образом:

1) область интерпретации (– множество всевозможных-отношений наарности) задается уточнением носителя;

2) множество переменных-отношений содержит неограниченное количество переменных арностидля всех;

3) множество элементарных констант содержит имена некоторых конкретных-отношений на. Денотат константыбудем обозначать;

4) каждой связке из множества связоксопоставлена, в общем случае, частичная функцияв области интерпретации (операция композиции-отношений). Предполагается, что применимость операций композиции к-отношениям определяется только некоторыми ограничениями на арность их аргументов. Схему, полученную применением связкик схемам, будем обозначать(если не идет речь о конкретных связках конкретных языков);

5) в рассматриваемом классе языков схем -отношений допускается использование только унарно-унарного оператора наименьшей фиксированной точки (оператора рекурсии), результат применения которого к схемепо операторной переменнойтой же арности обозначается. В нeкоторых случаях используется альтернативная возможность применения -арно--арных (для любых) операторов наименьшей фиксированной точки, применение которых к схемами операторным переменнымобозначается, причем в этом случае предполагается, что при построении схемоператоры наименьшей фиксированной точки не используются. Доказательство равносильности этих вариантов введения в язык схем отношений оператора наименьшей фиксированной точки приведено в конце параграфа 1.5.

Пусть – язык схем-отношений. Интерпретация формул (схем) этого языка как-отношений определяется заданием интерпретации переменных, причем. Индуцированную интерпретацию схем языкаобозначим черези определим так:

1. для всех;

2.  для всех ;

3. _для всех;

4. _– минимальное решение уравнения в интерпретации, индуцированной .

называется решением уравнения в интерпретации, индуцированной, если, где и для всех , отличных от. Минимальное (относительно теоретико-множественного включения) решениеудовлетворяет условиюдля всех других решенийтого же уравнения в той же интерпретации.

Следуя принципам конструктивности, мы ограничимся рассмотрением случая, когда все функции – интерпретанты связокязыкамонотонны относительно включения-отношенийкак графиков. Известно, что при этом условии для любого уравнения минимальное решение существует, и оно является пределом последовательностипри, где– пустое-отношение,, где и  для всех , отличных от. Отсюда очевидно, что оператор рекурсии тоже является монотонным относительно включения.